Discusión de un sistema lineal con parámetro

**Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en función de los valores del parámetro $\alpha$:** Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ \alpha & 2 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \alpha & 2 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & -2 & \alpha \\ \alpha & 2 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, debemos estudiar el rango de estas matrices comparándolos con el número de incógnitas ($n=3$).

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ \alpha & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(\alpha)(2)(-1) + (2)(-2)(\alpha) + (-2)(2)(2)] - [(-2)(2)(\alpha) + (2)(2)(-1) + (-2)(2)(\alpha)]$$ $$|A| = [-2\alpha - 4\alpha - 8] - [-4\alpha - 4 - 4\alpha]$$ $$|A| = [-6\alpha - 8] - [-8\alpha - 4] = -6\alpha - 8 + 8\alpha + 4$$ $$|A| = 2\alpha - 4$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $\alpha$: $$2\alpha - 4 = 0 \implies 2\alpha = 4 \implies \boxed{\alpha = 2}$$ 💡 **Tip:** El determinante nos indica cuándo el rango de $A$ es máximo (3). Si $|A| \neq 0$, el rango es 3.

Si **$\alpha \neq 2$**: - El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$), por lo tanto, el rango de la matriz $A$ es 3: **$\text{rg}(A) = 3$**. - Dado que la matriz ampliada $A^*$ tiene dimensiones $3 \times 4$, su rango máximo también es 3, por lo que **$\text{rg}(A^*) = 3$**. - El número de incógnitas es $n = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$, el sistema es: $$\boxed{\text{Compatible Determinado (SCD): Solución única para } \alpha \neq 2}$$

Si **$\alpha = 2$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Como $|A|=0$, sabemos que $\text{rg}(A) < 3$. Observamos que las dos primeras filas son idénticas, y existe un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -2 - (-4) = 2 \neq 0 \implies \mathbf{\text{rg}(A) = 2}$$ Para el rango de $A^*$, observamos que la fila 1 y la fila 2 son exactamente iguales en toda la matriz ampliada. Por lo tanto, cualquier menor de orden 3 que seleccionemos tendrá dos filas iguales y su determinante será 0. Así: $$\mathbf{\text{rg}(A^*) = 2}$$ Comparando rangos: - $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2$ - Número de incógnitas $n = 3$ Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) \lt n$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es: $$\boxed{\text{Compatible Indeterminado (SCI): Infinitas soluciones para } \alpha = 2}$$

**Resuelve el sistema para $\alpha = 1$, si es posible.** Como $\alpha = 1 \neq 2$, el sistema es Compatible Determinado. El sistema queda: $$\begin{cases} x + 2y - 2z = 2 \quad (E_1) \\ 2x + 2y - 2z = 1 \quad (E_2) \\ x + 2y - z = 1 \quad (E_3) \end{cases}$$ Podemos resolverlo por reducción fácilmente: 1. Restamos la primera ecuación a la segunda ($E_2 - E_1$): $$(2x + 2y - 2z) - (x + 2y - 2z) = 1 - 2 \implies \mathbf{x = -1}$$ 2. Restamos la primera ecuación a la tercera ($E_3 - E_1$): $$(x + 2y - z) - (x + 2y - 2z) = 1 - 2 \implies -z + 2z = -1 \implies \mathbf{z = -1}$$ 3. Sustituimos $x$ y $z$ en la primera ecuación ($E_1$): $$(-1) + 2y - 2(-1) = 2 \implies -1 + 2y + 2 = 2 \implies 2y + 1 = 2 \implies 2y = 1 \implies \mathbf{y = 1/2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = -1, \quad y = \frac{1}{2}, \quad z = -1}$$