Intersección de funciones y área con valor absoluto

Para trabajar con la función $f(x) = 2 - |x|$, primero debemos expresarla como una función definida a trozos eliminando el valor absoluto: $$f(x) = \begin{cases} 2 - (-x) & \text{si } x < 0 \\ 2 - x & \text{si } x \ge 0 \end{cases} = \begin{cases} 2 + x & \text{si } x < 0 \\ 2 - x & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ La función $g(x) = x^2 - 10$ es una parábola convexa (hacia arriba) definida en todo $\mathbb{R}$. 💡 **Tip:** Recuerda que $|x| = x$ si $x \ge 0$ y $|x| = -x$ si $x < 0$.

Igualamos ambas funciones $f(x) = g(x)$ para encontrar los puntos de intersección. Debido a la simetría de ambas funciones (son funciones pares, $f(x)=f(-x)$ y $g(x)=g(-x)$), podemos resolver para $x \ge 0$ y deducir los puntos negativos. **Caso $x \ge 0$:** $$2 - x = x^2 - 10$$ $$x^2 + x - 12 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: $x_1 = 3$ y $x_2 = -4$. Como estamos en el caso $x \ge 0$, solo tomamos **$x = 3$**. **Caso $x < 0$:** $$2 + x = x^2 - 10$$ $$x^2 - x - 12 = 0$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 7}{2}$$ Esto nos da $x_1 = 4$ y $x_2 = -3$. Como estamos en el caso $x < 0$, solo tomamos **$x = -3$**. Calculamos las ordenadas $y$ sustituyendo en cualquiera de las funciones: Para $x = 3 \implies y = 2 - |3| = -1$. Para $x = -3 \implies y = 2 - |-3| = -1$. ✅ **Resultado (Puntos de corte):** $$\boxed{P_1(3, -1) \text{ y } P_2(-3, -1)}$$

El área encerrada entre las dos curvas se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones en el intervalo $[-3, 3]$. Primero determinamos qué función está por encima. Evaluamos en $x = 0$: $f(0) = 2 - 0 = 2$ $g(0) = 0^2 - 10 = -10$ Como $f(0) > g(0)$, la función $f(x)$ está por encima de $g(x)$ en el intervalo estudiado. Dado que ambas funciones son pares, el recinto es simétrico respecto al eje $Y$. Podemos calcular el área de la mitad derecha (de 0 a 3) y multiplicar por 2: $$A = \int_{-3}^{3} (f(x) - g(x)) \, dx = 2 \int_{0}^{3} (f(x) - g(x)) \, dx$$ Sustituimos $f(x)$ para $x \ge 0$: $$A = 2 \int_{0}^{3} [ (2 - x) - (x^2 - 10) ] \, dx = 2 \int_{0}^{3} (-x^2 - x + 12) \, dx$$ 💡 **Tip:** Aprovechar la simetría simplifica mucho los cálculos con valores absolutos e integrales.

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = 2 \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 12x \right]_0^3$$ Evaluamos en los límites: $$A = 2 \left[ \left( -\frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 12(3) \right) - \left( 0 \right) \right]$$ $$A = 2 \left[ -9 - \frac{9}{2} + 36 \right]$$ $$A = 2 \left[ 27 - 4.5 \right] = 2 \left[ 22.5 \right] = 45$$ ✅ **Resultado (Área final):** $$\boxed{\text{Área} = 45 \text{ u}^2}$$ Podemos visualizar el área sombreada en el siguiente gráfico interactivo: