Continuidad y Teorema de Bolzano en derivadas

**a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[-2, -1] \cdot$** Para analizar la continuidad de $f(x) = \frac{e^{x^2 - 2}}{x}$, observamos sus componentes: 1. El numerador, $e^{x^2 - 2}$, es una función composición de una exponencial y un polinomio, ambas continuas en todo $\mathbb{R}$. 2. El denominador, $x$, es una función polinómica continua en todo $\mathbb{R}$. Una función racional o cociente es continua en todo su dominio, excepto en los puntos donde el denominador se anula. En este caso: $$x = 0$$ Por lo tanto, el dominio de la función es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Como el intervalo $[-2, -1]$ no contiene al punto $x = 0$, podemos afirmar que la función es continua en dicho intervalo. 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones elementales (polinómicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas) son continuas en sus respectivos dominios. $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } [-2, -1] \text{ porque } 0 \notin [-2, -1]}$$

**b) Comprueba que existe un valor $\alpha \in (-2, -1)$ tal que $f'(\alpha) = e$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.** Primero, calculamos la derivada $f'(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(e^{x^2-2})' \cdot x - e^{x^2-2} \cdot (x)'}{x^2}$$ Calculamos la derivada del numerador usando la regla de la cadena: $(e^{u})' = u' e^u$. Si $u = x^2-2$, entonces $u' = 2x$. Por tanto: $$f'(x) = \frac{(2x e^{x^2-2}) \cdot x - e^{x^2-2} \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 e^{x^2-2} - e^{x^2-2}}{x^2}$$ Factorizamos $e^{x^2-2}$ para simplificar: $$f'(x) = \frac{(2x^2 - 1)e^{x^2-2}}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Al derivar cocientes, intenta simplificar siempre el numerador factorizando términos comunes (especialmente las exponenciales). $$\boxed{f'(x) = \frac{(2x^2 - 1)e^{x^2-2}}{x^2}} $$

Para demostrar que $f'(\alpha) = e$, definimos una función auxiliar $g(x) = f'(x) - e$ y aplicaremos el **Teorema de Bolzano** sobre ella. **Teorema de Bolzano:** Sea $g(x)$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$. Si los signos de la función en los extremos son distintos ($g(a) \cdot g(b) \lt 0$), entonces existe al menos un punto $\alpha \in (a, b)$ tal que $g(\alpha) = 0$. **Justificación de uso:** - $g(x) = \frac{(2x^2 - 1)e^{x^2-2}}{x^2} - e$ es continua en $[-2, -1]$ porque el único punto de discontinuidad es $x=0$, que no pertenece al intervalo. - Debemos comprobar que toma valores de distinto signo en $x = -2$ y $x = -1$. 💡 **Tip:** Cuando te pidan demostrar que una función alcanza un valor específico, suele ser útil trasladar todos los términos a un lado para buscar una raíz y aplicar Bolzano.

Evaluamos $g(x)$ en los extremos del intervalo $[-2, -1]$: Para $x = -2$: $$f'(-2) = \frac{(2(-2)^2 - 1)e^{(-2)^2-2}}{(-2)^2} = \frac{(8 - 1)e^{4-2}}{4} = \frac{7e^2}{4}$$ Como $e^2 \approx 7.39$, entonces $f'(-2) \approx \frac{7 \cdot 7.39}{4} \approx 12.93$. $$g(-2) = f'(-2) - e \approx 12.93 - 2.72 = 10.21 \gt 0$$ Para $x = -1$: $$f'(-1) = \frac{(2(-1)^2 - 1)e^{(-1)^2-2}}{(-1)^2} = \frac{(2 - 1)e^{1-2}}{1} = e^{-1} = \frac{1}{e}$$ Como $e \approx 2.72$, entonces $f'(-1) \approx 0.368$. $$g(-1) = f'(-1) - e \approx 0.368 - 2.72 = -2.352 \lt 0$$ Como $g(-2) \gt 0$ y $g(-1) \lt 0$, se cumple el cambio de signo necesario. $$\boxed{g(-2) \gt 0 \text{ y } g(-1) \lt 0}$$

Dado que la función $g(x) = f'(x) - e$ es continua en $[-2, -1]$ y cambia de signo en sus extremos ($g(-2) \gt 0$ y $g(-1) \lt 0$), el **Teorema de Bolzano** asegura que existe al menos un valor $\alpha \in (-2, -1)$ tal que: $$g(\alpha) = 0 \implies f'(\alpha) - e = 0 \implies f'(\alpha) = e$$ Con esto queda demostrado lo solicitado en el enunciado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\exists \alpha \in (-2, -1) \mid f'(\alpha) = e}$$