Estudio de continuidad y extremos relativos

**a) Estudia la continuidad de la función en el intervalo $[0, \pi]$.** La función dada es una composición de una función exponencial $e^u$ (continua en todo $\mathbb{R}$) y una función racional trigonométrica en el exponente. La función será continua en todos los puntos donde el denominador del exponente no se anule. Buscamos los puntos donde $\sin x + \cos x = 0$ dentro del intervalo $[0, \pi]$: $$\sin x + \cos x = 0 \implies \sin x = -\cos x \implies \tan x = -1$$ En el intervalo $[0, \pi]$, el único valor que cumple $\tan x = -1$ es: $$x = \frac{3\pi}{4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\tan x = -1$ ocurre en el segundo cuadrante ($135^\circ$) y cuarto cuadrante. Como estamos en $[0, \pi]$, solo tomamos el valor del segundo cuadrante.

Analizamos los límites laterales en $x = \frac{3\pi}{4}$ para determinar el tipo de discontinuidad: 1. **Límite por la izquierda ($x \to \frac{3\pi}{4}^-$):** En este lado, $\sin x + \cos x \gt 0$ (tiende a $0$ por valores positivos). $$\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^-} e^{\frac{1}{\sin x + \cos x}} = e^{\frac{1}{0^+}} = e^{+\infty} = +\infty$$ 2. **Límite por la derecha ($x \to \frac{3\pi}{4}^+$):** En este lado, $\sin x + \cos x \lt 0$ (tiende a $0$ por valores negativos). $$\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^+} e^{\frac{1}{\sin x + \cos x}} = e^{\frac{1}{0^-}} = e^{-\infty} = 0$$ Como los límites no son finitos e iguales, la función presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito en $x = \frac{3\pi}{4}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es continua en } [0, \pi] \setminus \{3\pi/4\}}$$

**b) Halla su extremo relativo en ese mismo intervalo.** Para hallar los extremos relativos, calculamos la derivada de $f(x) = e^{(\sin x + \cos x)^{-1}}$ usando la regla de la cadena: $$f'(x) = e^{\frac{1}{\sin x + \cos x}} \cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{\sin x + \cos x} \right)$$ Aplicamos la regla de la derivada del cociente (o de la potencia negativa): $$\left( \frac{1}{g(x)} \right)' = -\frac{g'(x)}{(g(x))^2}$$ $$f'(x) = e^{\frac{1}{\sin x + \cos x}} \cdot \left( -\frac{\cos x - \sin x}{(\sin x + \cos x)^2} \right) = e^{\frac{1}{\sin x + \cos x}} \cdot \frac{\sin x - \cos x}{(\sin x + \cos x)^2}$$ 💡 **Tip:** Para derivar $e^{u(x)}$, la fórmula es $f'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \iff e^{\frac{1}{\sin x + \cos x}} \cdot \frac{\sin x - \cos x}{(\sin x + \cos x)^2} = 0$$ Como la función exponencial $e^u$ siempre es mayor que cero y el denominador al cuadrado es positivo (donde existe), la igualdad depende solo del numerador: $$\sin x - \cos x = 0 \implies \sin x = \cos x \implies \tan x = 1$$ En el intervalo $[0, \pi]$, el valor que cumple $\tan x = 1$ es: $$x = \frac{\pi}{4}$$ Este es nuestro candidato a extremo relativo.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico y el punto de discontinuidad dentro de $[0, \pi]$: $$ \begin{array}{c|ccc|c|c} x & [0, \pi/4) & \pi/4 & (\pi/4, 3\pi/4) & 3\pi/4 & (3\pi/4, \pi] \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & + \\ \text{Función} & \searrow & \min & \nearrow & \text{disc.} & \nearrow \end{array} $$ Justificación del signo: - En $(0, \pi/4)$, probamos $x=0$: $f'(0) = e^1 \cdot \frac{0-1}{1^2} = -e \lt 0$. - En $(\pi/4, 3\pi/4)$, probamos $x=\pi/2$: $f'(\pi/2) = e^1 \cdot \frac{1-0}{1^2} = e \gt 0$. - En $(3\pi/4, \pi)$, probamos $x=\pi$: $f'(\pi) = e^{-1} \cdot \frac{0-(-1)}{(-1)^2} = 1/e \gt 0$. En $x = \pi/4$ la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**.

Calculamos la ordenada del punto mínimo sustituyendo $x = \pi/4$ en $f(x)$: $$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{\frac{1}{\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4)}} = e^{\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}} = e^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ El punto extremo es: $$M\left(\frac{\pi}{4}, e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } \left(\frac{\pi}{4}, e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}$$