Cálculo de integrales indefinidas

**P5) Calcula las siguientes integrales indefinidas:** **$$\int \frac{dx}{2x \sqrt{x - 1}}$$ (1.25 puntos)** Para resolver esta integral, observamos que el denominador contiene una raíz cuadrada y una variable $x$ fuera de ella. Podemos intentar reescribir la expresión para identificar una integral inmediata del tipo arcotangente. Sabemos que la derivada de la función $\sqrt{x-1}$ es: $$\left(\sqrt{x-1}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$$ Además, podemos expresar la variable $x$ en el denominador como: $$x = (x - 1) + 1 = (\sqrt{x - 1})^2 + 1$$ 💡 **Tip:** Antes de aplicar cambios de variable complejos, comprueba si puedes dar forma de integral inmediata: $\int \frac{f'(x)}{1 + f(x)^2} dx = \arctan(f(x)) + C$.

Reescribimos la integral original utilizando las observaciones anteriores: $$\int \frac{1}{2x \sqrt{x - 1}} dx = \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} dx = \int \frac{\frac{1}{2\sqrt{x - 1}}}{1 + (\sqrt{x - 1})^2} dx$$ Ahora la integral tiene la forma exacta de la derivada del arcotangente de una función: $$\int \frac{f'(x)}{1 + [f(x)]^2} dx = \arctan(f(x)) + C$$ donde $f(x) = \sqrt{x-1}$. Por tanto: $$\int \frac{dx}{2x \sqrt{x - 1}} = \arctan(\sqrt{x - 1}) + C$$ ✅ **Resultado integral 1:** $$\boxed{\arctan(\sqrt{x - 1}) + C}$$

**$$\int (3 - 2x) e^{-2x} dx$$ (1.25 puntos)** Esta integral presenta el producto de un polinomio, $(3-2x)$, por una función exponencial, $e^{-2x}$. Este es el escenario clásico para aplicar el método de **integración por partes**. Recordamos la fórmula: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Elegimos los términos siguiendo la regla mnemotécnica ALPES (Polinómicas antes que Exponenciales): - Sea $u = 3 - 2x \implies du = -2 \, dx$ - Sea $dv = e^{-2x} \, dx \implies v = \int e^{-2x} \, dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ 💡 **Tip:** Recuerda que al integrar $e^{ax}$, el resultado es $\frac{1}{a}e^{ax}$. En este caso, $a = -2$.

Sustituimos los valores en la fórmula de integración por partes: $$\int (3 - 2x) e^{-2x} dx = (3 - 2x) \left( -\frac{1}{2}e^{-2x} \right) - \int \left( -\frac{1}{2}e^{-2x} \right) (-2) \, dx$$ Simplificamos los signos y constantes en el segundo término: $$= -\frac{3 - 2x}{2}e^{-2x} - \int e^{-2x} \, dx$$ Resolvemos la integral restante, que es inmediata: $$= -\frac{3 - 2x}{2}e^{-2x} - \left( -\frac{1}{2}e^{-2x} \right) + C$$ $$= \left( x - \frac{3}{2} \right) e^{-2x} + \frac{1}{2}e^{-2x} + C$$

Para dar el resultado de forma más elegante, sacamos factor común $e^{-2x}$: $$\left( x - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \right) e^{-2x} + C = (x - 1) e^{-2x} + C$$ Podemos comprobar derivando el resultado: $$\frac{d}{dx}[(x-1)e^{-2x}] = 1 \cdot e^{-2x} + (x-1)(-2)e^{-2x} = e^{-2x}(1 - 2x + 2) = (3 - 2x)e^{-2x}$$ Como coincide con el integrando, el cálculo es correcto. ✅ **Resultado integral 2:** $$\boxed{(x - 1)e^{-2x} + C}$$