Ecuación de la recta: paralelismo a un plano e intersección con otra recta

Para trabajar con la condición de que la recta buscada corta a $r$, primero expresaremos $r$ en forma paramétrica. Para ello, necesitamos un punto $R$ y un vector director $\vec{v}_r$. Calculamos el vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(-1)(-1) + \vec{j}(2)(3) + \vec{k}(1)(-1) - [\vec{k}(-1)(3) + \vec{i}(2)(-1) + \vec{j}(1)(-1)]$$ $$\vec{v}_r = (1\vec{i} + 6\vec{j} - 1\vec{k}) - (-3\vec{k} - 2\vec{i} - 1\vec{j}) = 3\vec{i} + 7\vec{j} + 2\vec{k} = (3, 7, 2)$$ Buscamos un punto de $r$ haciendo, por ejemplo, $z = 0$: $$\begin{cases} x - y = -2 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$ Restando la primera a la segunda: $2x = 5 \implies x = 5/2$. Sustituyendo: $5/2 - y = -2 \implies y = 5/2 + 2 = 9/2$. El punto es $R(5/2, 9/2, 0)$. Las ecuaciones paramétricas de $r$ son: $$r \equiv \begin{cases} x = \frac{5}{2} + 3\lambda \\ y = \frac{9}{2} + 7\lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector director de una recta dada como intersección de dos planos se obtiene con el producto vectorial de sus vectores normales.

Llamemos $s$ a la recta que buscamos. Como $s$ pasa por $P(1, 2, -1)$ y corta a $r$, existirá un punto $Q \in r$ tal que el vector $\vec{PQ}$ sea el vector director de $s$, $\vec{v}_s$. Un punto genérico $Q$ de la recta $r$ tiene la forma: $$Q = \left( \frac{5}{2} + 3\lambda, \frac{9}{2} + 7\lambda, 2\lambda \right)$$ El vector director $\vec{v}_s$ será: $$\vec{v}_s = \vec{PQ} = Q - P = \left( \frac{5}{2} + 3\lambda - 1, \frac{9}{2} + 7\lambda - 2, 2\lambda - (-1) \right)$$ $$\vec{v}_s = \left( \frac{3}{2} + 3\lambda, \frac{5}{2} + 7\lambda, 2\lambda + 1 \right)$$ 💡 **Tip:** Para que dos rectas se corten, deben compartir un punto. Definir un punto genérico de una de ellas es la forma más eficiente de imponer esta condición.

Se nos indica que la recta $s$ es paralela al plano $\pi \equiv 2x - y + z = 0$. Para que una recta sea paralela a un plano (o esté contenida en él), su vector director $\vec{v}_s$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (2, -1, 1)$. Imponemos que el producto escalar sea cero: $$\vec{v}_s \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ $$\left( \frac{3}{2} + 3\lambda, \frac{5}{2} + 7\lambda, 2\lambda + 1 \right) \cdot (2, -1, 1) = 0$$ Multiplicamos componente a componente: $$2\left( \frac{3}{2} + 3\lambda \right) - 1\left( \frac{5}{2} + 7\lambda \right) + 1(2\lambda + 1) = 0$$ $$3 + 6\lambda - \frac{5}{2} - 7\lambda + 2\lambda + 1 = 0$$ Agrupamos los términos con $\lambda$ y los términos independientes: $$\lambda + 4 - 2.5 = 0 \implies \lambda + 1.5 = 0 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$$ 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano, visualiza que su dirección es ortogonal a la "aguja" (el vector normal) que pincha el plano.

Sustituimos el valor de $\lambda = -3/2$ en la expresión de $\vec{v}_s$: $$\vec{v}_s = \left( \frac{3}{2} + 3\left(-\frac{3}{2}\right), \frac{5}{2} + 7\left(-\frac{3}{2}\right), 2\left(-\frac{3}{2}\right) + 1 \right)$$ $$\vec{v}_s = \left( \frac{3}{2} - \frac{9}{2}, \frac{5}{2} - \frac{21}{2}, -3 + 1 \right) = (-3, -8, -2)$$ Para facilitar la escritura de la recta, podemos usar el vector opuesto como vector director: $\vec{d}_s = (3, 8, 2)$. Con el punto $P(1, 2, -1)$ y el vector $\vec{d}_s = (3, 8, 2)$, la ecuación continua es: $$\frac{x - x_0}{d_1} = \frac{y - y_0}{d_2} = \frac{z - z_0}{d_3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{8} = \frac{z + 1}{2}}$$