Ecuación de la recta que pasa por un punto y corta a otras dos

Para hallar una recta que pase por un punto $T$ y corte a otras dos rectas $r$ y $s$, podemos utilizar el método de la intersección de dos planos: 1. El primer plano, $\pi_1$, contendrá al punto $T$ y a la recta $r$. 2. El segundo plano, $\pi_2$, contendrá al punto $T$ y a la recta $s$. 3. La recta buscada $l$ será la intersección de ambos planos: $l = \pi_1 \cap \pi_2$. Esto garantiza que $l$ pasa por $T$ (ya que $T$ está en ambos planos) y que corta a $r$ y $s$ por estar contenidas en los mismos planos que $l$ y no ser paralelas entre sí.

La recta $r$ viene dada por sus ecuaciones implícitas: $$r \equiv \begin{cases} -x - y - z + 3 = 0 \\ 3x + z - 10 = 0 \end{cases}$$ Calculamos su vector director $\vec{v}_r$ mediante el producto vectorial de los vectores normales a los planos que la definen: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & -1 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(-1) - \vec{j}(-1+3) + \vec{k}(3) = (-1, -2, 3)$$ Buscamos un punto $P_r$ de la recta dando un valor a una variable. Si $x = 3$: $$3(3) + z - 10 = 0 \implies 9 + z - 10 = 0 \implies z = 1$$ $$-3 - y - 1 + 3 = 0 \implies -y - 1 = 0 \implies y = -1$$ Luego, $P_r = (3, -1, 1)$ y $\vec{v}_r = (-1, -2, 3)$.

El plano $\pi_1$ está determinado por el punto $T(1, -5, 3)$ y los vectores $\vec{v}_r = (-1, -2, 3)$ y $\vec{TP_r}$: $$\vec{TP_r} = (3-1, -1-(-5), 1-3) = (2, 4, -2)$$ La ecuación del plano se obtiene igualando a cero el determinante: $$\begin{vmatrix} x-1 & y+5 & z-3 \\ -1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -2 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-1)(4-12) - (y+5)(2-6) + (z-3)(-4+4) = 0$$ $$-8(x-1) + 4(y+5) = 0 \implies -8x + 8 + 4y + 20 = 0$$ $$-8x + 4y + 28 = 0 \implies -2x + y + 7 = 0$$ $$\boxed{\pi_1 \equiv -2x + y + 7 = 0}$$

Para la recta $s \equiv \frac{x}{-2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{1}$, extraemos directamente: $P_s = (0, -1, 2)$ y $\vec{v}_s = (-2, -1, 1)$. El plano $\pi_2$ contiene a $T(1, -5, 3)$ y los vectores $\vec{v}_s$ y $\vec{TP_s}$: $$\vec{TP_s} = (0-1, -1-(-5), 2-3) = (-1, 4, -1)$$ Calculamos su ecuación: $$\begin{vmatrix} x-1 & y+5 & z-3 \\ -2 & -1 & 1 \\ -1 & 4 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-1)(1-4) - (y+5)(2+1) + (z-3)(-8-1) = 0$$ $$-3(x-1) - 3(y+5) - 9(z-3) = 0$$ Dividiendo por $-3$: $$(x-1) + (y+5) + 3(z-3) = 0 \implies x - 1 + y + 5 + 3z - 9 = 0$$ $$\boxed{\pi_2 \equiv x + y + 3z - 5 = 0}$$

La recta buscada $l$ es la intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$. Su vector director $\vec{v}_l$ es el producto vectorial de los normales de los planos: $$\vec{v}_l = \vec{n}_{\pi_1} \times \vec{n}_{\pi_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3\vec{i} - (-6)\vec{j} + (-2-1)\vec{k} = (3, 6, -3)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $3$: $\vec{v}_l = (1, 2, -1)$. Usando el punto $T(1, -5, 3)$ y el vector $\vec{v}_l$, escribimos la ecuación continua: 💡 **Recuerda:** La ecuación continua de una recta que pasa por $(x_0, y_0, z_0)$ con vector $(a, b, c)$ es $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{x-1}{1} = \frac{y+5}{2} = \frac{z-3}{-1}}$$