Condición de matriz singular para una suma de potencias

**P2) Calcula los valores de $t$ para los que la matriz $A^{26} + A^{25}$ es matriz singular, siendo $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & t - 1 \end{pmatrix}$.** Una matriz es **singular** si su determinante es igual a cero. Por tanto, buscamos los valores de $t$ tales que: $$\det(A^{26} + A^{25}) = 0$$ En lugar de calcular las potencias directas de la matriz, simplificamos la expresión factorizando el término común $A^{25}$: $$A^{26} + A^{25} = A^{25}(A + I)$$ donde $I$ es la matriz identidad de orden 2, $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $M$ es singular si y solo si $\det(M) = 0$. Factorizar expresiones matriciales facilita mucho el cálculo de determinantes.

Utilizamos las propiedades de los determinantes para descomponer la expresión anterior: 1. El determinante de un producto es el producto de los determinantes: $\det(M \cdot N) = \det(M) \cdot \det(N)$. 2. El determinante de una potencia es la potencia del determinante: $\det(A^n) = (\det(A))^n$. Aplicando esto a nuestra condición: $$\det(A^{25}(A + I)) = \det(A^{25}) \cdot \det(A + I) = (\det(A))^{25} \cdot \det(A + I)$$ Para que la matriz sea singular, debe cumplirse que: $$(\det(A))^{25} \cdot \det(A + I) = 0$$ 💡 **Tip:** Gracias a estas propiedades, solo necesitamos calcular el determinante de la matriz original $A$ y de la matriz suma $A + I$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & t - 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot (t - 1)) - (-1 \cdot 1) = 0 + 1 = 1$$ Como $\det(A) = 1$, entonces: $$(\det(A))^{25} = 1^{25} = 1$$ Esto simplifica nuestra ecuación original a: $$1 \cdot \det(A + I) = 0 \implies \det(A + I) = 0$$

Primero obtenemos la matriz $A + I$: $$A + I = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & t - 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + 1 & -1 + 0 \\ 1 + 0 & (t - 1) + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & t \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$\det(A + I) = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & t \end{vmatrix} = (1 \cdot t) - (-1 \cdot 1) = t + 1$$ Igualamos a cero para satisfacer la condición de matriz singular: $$t + 1 = 0 \implies t = -1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{t = -1}$$