Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**P1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible.** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a^2-2a & -1 \\ 1 & a^2-4 & 2a-3 \\ 1 & a^2-4a+4 & a^2-2a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a^2-2a & -1 & -a^2 \\ 1 & a^2-4 & 2a-3 & -a^2-2a \\ 1 & a^2-4a+4 & a^2-2a & -a^2+a-1 \end{array}\right)$$ Observamos que los términos en $y$ se pueden simplificar como: - $a^2 - 2a = a(a-2)$ - $a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$ - $a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$ Para estudiar el sistema, aplicaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que establece la relación entre los rangos de las matrices $A$ y $A^*$ y el número de incógnitas para determinar la compatibilidad del sistema.

Calculamos el determinante de $A$ para hallar los valores críticos de $a$. Para facilitar el cálculo, realizamos transformaciones elementales por filas para obtener ceros en la primera columna: $R_2 \to R_2 - R_1$ y $R_3 \to R_3 - R_1$. $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a^2-2a & -1 \\ 0 & (a^2-4)-(a^2-2a) & (2a-3)-(-1) \\ 0 & (a^2-4a+4)-(a^2-2a) & (a^2-2a)-(-1) \end{vmatrix}$$ $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a^2-2a & -1 \\ 0 & 2a-4 & 2a-2 \\ 0 & -2a+4 & a^2-2a+1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2(a-2) & 2(a-1) \\ -2(a-2) & (a-1)^2 \end{vmatrix}$$ Extraemos factores comunes $2(a-2)$ de la primera columna y $(a-1)$ de la segunda: $$|A| = 2(a-2)(a-1) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & a-1 \end{vmatrix} = 2(a-2)(a-1) [ (a-1) - (-2) ]$$ $$|A| = 2(a-2)(a-1)(a+1)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$|A| = 0 \implies a = 2, \quad a = 1, \quad a = -1$$

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** analizando los rangos de $A$ y $A^*$: * **Caso 1: $a \neq 2, 1, -1$** $|A| \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n^{\circ} \text{ incógnitas}$. El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. * **Caso 2: $a = 2$** $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & -4 \\ 1 & 0 & 1 & -8 \\ 1 & 0 & 0 & -3 \end{array}\right)$. Como $|A|=0$ y el menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$, $\text{rg}(A)=2$. Estudiamos un menor de orden 3 en $A^*$: $\begin{vmatrix} 1 & -1 & -4 \\ 1 & 1 & -8 \\ 1 & 0 & -3 \end{vmatrix} = (-3+8+0) - (-4+0+3) = 5+1 = 6 \neq 0$. $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. * **Caso 3: $a = 1$** $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & -1 & -3 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \end{array}\right)$. $\text{rg}(A)=2$ (menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -2$). Menor en $A^*$: $\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & -3 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (3+3-1) - (3-3+1) = 5-1 = 4 \neq 0$. $\text{rg}(A^*) = 3$. El sistema es **Incompatible (SI)**. * **Caso 4: $a = -1$** $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & -5 & 1 \\ 1 & 9 & 3 & -3 \end{array}\right)$. $\text{rg}(A)=2$. Todos los menores de orden 3 en $A^*$ son 0 (comprobable por filas: $R_3 = 2R_1 - R_2$). $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. 💡 **Tip:** El teorema de Rouché-Frobenius es fundamental para justificar la existencia y tipo de soluciones en sistemas con parámetros.

Para resolver el sistema en el caso general $a \notin \{2, 1, -1\}$, podemos usar el método de Gauss sobre las ecuaciones simplificadas en el paso 2: 1) $(a-2)y + (a-1)z = -a$ 2) $-2(a-2)y + (a-1)^2z = a-1$ Multiplicamos la primera por 2 y sumamos: $2(a-1)z + (a-1)^2z = -2a + a - 1 \implies (a-1)z[2 + a - 1] = -(a+1)$ $(a-1)(a+1)z = -(a+1) \implies z = -\frac{1}{a-1}$ Sustituimos en la primera: $(a-2)y + (a-1)\left(-\frac{1}{a-1}\right) = -a \implies (a-2)y - 1 = -a \implies y = \frac{1-a}{a-2}$ Calculamos $x$ de la primera ecuación original $x = -a^2 - (a^2-2a)y + z$: $x = -a^2 - a(a-2)\frac{1-a}{a-2} - \frac{1}{a-1} = -a^2 - a + a^2 - \frac{1}{a-1} = -a - \frac{1}{a-1} = \frac{-a^2+a-1}{a-1}$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{x = \frac{-a^2+a-1}{a-1}, \quad y = \frac{1-a}{a-2}, \quad z = \frac{-1}{a-1}}$$

Para $a = -1$, el sistema es compatible indeterminado. Tomamos las dos primeras ecuaciones (que son linealmente independientes): $$\begin{cases} x + 3y - z = -1 \\ x - 3y - 5z = 1 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(x+3y-z) - (x-3y-5z) = -1 - 1 \implies 6y + 4z = -2 \implies 3y + 2z = -1$. Parametrizamos con $y = \lambda$: $$z = \frac{-1-3\lambda}{2}$$ Sustituimos en la primera para hallar $x$: $x = -1 - 3\lambda + z = -1 - 3\lambda + \frac{-1-3\lambda}{2} = \frac{-2-6\lambda-1-3\lambda}{2} = \frac{-3-9\lambda}{2}$ ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{-3-9\lambda}{2}, \lambda, \frac{-1-3\lambda}{2} \right) \text{ para } \lambda \in \mathbb{R}}$$