Área encerrada entre una función cúbica y una recta

Para calcular el área encerrada entre dos curvas, el primer paso es encontrar sus puntos de intersección. Estos puntos determinarán los límites de integración. Igualamos ambas funciones: $$f(x) = g(x) \implies x^3 - 3x - 2 = x - 2$$ Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: $$x^3 - 3x - x - 2 + 2 = 0$$ $$x^3 - 4x = 0$$ Factorizamos la ecuación resultante: $$x(x^2 - 4) = 0$$ $$x(x - 2)(x + 2) = 0$$ Las soluciones son: $$x_1 = -2, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 2$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican que la región está dividida en dos recintos: uno en el intervalo $[-2, 0]$ y otro en el intervalo $[0, 2]$. $$\boxed{x = -2, \; x = 0, \; x = 2}$$

Debemos saber qué función queda por encima de la otra en cada intervalo para plantear correctamente las integrales (o simplemente usar el valor absoluto). Definimos la función diferencia $h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 4x$: - **Intervalo $(-2, 0)$:** Probamos con $x = -1$. $h(-1) = (-1)^3 - 4(-1) = -1 + 4 = 3 > 0$. Por tanto, $f(x) > g(x)$. - **Intervalo $(0, 2)$:** Probamos con $x = 1$. $h(1) = (1)^3 - 4(1) = 1 - 4 = -3 < 0$. Por tanto, $g(x) > f(x)$. El área total será la suma de las áreas de estos dos recintos: $$A = \int_{-2}^{0} [f(x) - g(x)] \, dx + \int_{0}^{2} [g(x) - f(x)] \, dx$$ O lo que es lo mismo: $$A = \left| \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx \right| + \left| \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx \right|$$

Calculamos primero la primitiva de la función diferencia $h(x) = x^3 - 4x$: $$\int (x^3 - 4x) \, dx = \frac{x^4}{4} - 4\frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{4} - 2x^2 + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para integrar potencias usamos la regla $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Calculamos el valor de la integral en cada intervalo aplicando la **Regla de Barrow**: **Para el primer recinto $[-2, 0]$:** $$\int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0} = (0) - \left( \frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)^2 \right) = - \left( \frac{16}{4} - 8 \right) = -(4 - 8) = 4 \text{ u}^2$$ **Para el segundo recinto $[0, 2]$:** $$\int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^4}{4} - 2(2)^2 \right) - (0) = (4 - 8) = -4 \implies \text{Área} = |-4| = 4 \text{ u}^2$$ Sumamos ambas áreas para obtener el área total: $$A_{total} = 4 + 4 = 8 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 8 \text{ unidades cuadradas}}$$