Continuidad y Teorema de Bolzano

**a) Demuestra que la función es continua en el intervalo $[2, 4] \cdot$** La función dada es $f(x) = \ln \left( \sin \frac{\pi x}{6} \right) - \cos \frac{\pi x}{6}$. Está compuesta por la resta de dos funciones: 1. $g(x) = \ln \left( \sin \frac{\pi x}{6} \right)$, que es una composición de un logaritmo, un seno y una función lineal. 2. $h(x) = \cos \frac{\pi x}{6}$, que es una composición de un coseno y una función lineal. La función coseno y las funciones lineales son continuas en todo $\mathbb{R}$. La función logaritmo neperiano, $\ln(u)$, es continua para todo $u \gt 0$. Por tanto, debemos comprobar si el argumento del logaritmo, $\sin \frac{\pi x}{6}$, es estrictamente positivo en el intervalo cerrado $[2, 4]$. 💡 **Tip:** Una función compuesta de funciones continuas es continua en su dominio. El punto crítico aquí es asegurar que no intentamos calcular el logaritmo de un número negativo o cero.

Analizamos el rango de valores del argumento $\frac{\pi x}{6}$ cuando $x \in [2, 4]$: - Si $x = 2 \implies \frac{\pi \cdot 2}{6} = \frac{\pi}{3}$ rad ($60^\circ$). - Si $x = 4 \implies \frac{\pi \cdot 4}{6} = \frac{2\pi}{3}$ rad ($120^\circ$). Para cualquier $x \in [2, 4]$, el ángulo $\theta = \frac{\pi x}{6}$ pertenece al intervalo $\left[ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right]$, que corresponde al primer y segundo cuadrante de la circunferencia goniométrica. En este intervalo, la función seno siempre es positiva: $$\sin \theta \ge \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \gt 0.$$ Como $\sin \frac{\pi x}{6} \gt 0$ para todo $x \in [2, 4]$, la función $\ln \left( \sin \frac{\pi x}{6} \right)$ está definida y es continua en dicho intervalo. Al ser resta de funciones continuas, $f(x)$ es continua en $[2, 4]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f(x) es continua en [2, 4] por ser composición y resta de funciones continuas en ese intervalo.}}$$

**b) Demuestra que existe un valor $\alpha \in (2, 4)$ tal que $f(\alpha) = 0$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.** Para demostrar la existencia de una raíz en un intervalo, utilizamos el **Teorema de Bolzano**: > Si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y toma valores de distinto signo en sus extremos ($f(a) \cdot f(b) \lt 0$), entonces existe al menos un punto $\alpha \in (a, b)$ tal que $f(\alpha) = 0$. **Justificación de su uso:** 1. Hemos demostrado en el apartado anterior que $f(x)$ es **continua en $[2, 4]$**. 2. Debemos comprobar ahora el signo de la función en los extremos $x=2$ y $x=4$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano garantiza la existencia de al menos una solución, pero no nos dice cuántas hay ni cuál es su valor exacto.

Calculamos el valor de la función en $x = 2$: $$f(2) = \ln \left( \sin \frac{\pi \cdot 2}{6} \right) - \cos \frac{\pi \cdot 2}{6} = \ln \left( \sin \frac{\pi}{3} \right) - \cos \frac{\pi}{3}$$ $$f(2) = \ln \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \frac{1}{2}$$ Como $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \lt 1$, su logaritmo es negativo ($\approx -0.144$). Por tanto, **$f(2) \lt 0$**. Calculamos el valor de la función en $x = 4$: $$f(4) = \ln \left( \sin \frac{\pi \cdot 4}{6} \right) - \cos \frac{\pi \cdot 4}{6} = \ln \left( \sin \frac{2\pi}{3} \right) - \cos \frac{2\pi}{3}$$ $$f(4) = \ln \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} \right) = \ln \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \frac{1}{2}$$ Calculando el valor aproximado: $-0.144 + 0.5 = 0.356 \gt 0$. Por tanto, **$f(4) \gt 0$**. 💡 **Tip:** Recuerda que $\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \sqrt{3}/2$ y $\cos(120^\circ) = -1/2$.

Dado que: 1. $f(x)$ es continua en $[2, 4]$. 2. $f(2) \lt 0$ y $f(4) \gt 0$, es decir, cambian de signo. Según el **Teorema de Bolzano**, existe al menos un valor $\alpha \in (2, 4)$ tal que $f(\alpha) = 0$. Nota: Si observamos la función, en $x=3$ tenemos $\frac{\pi \cdot 3}{6} = \frac{\pi}{2}$. $f(3) = \ln(\sin \frac{\pi}{2}) - \cos \frac{\pi}{2} = \ln(1) - 0 = 0$. Por lo tanto, el valor buscado es exactamente $\alpha = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } \alpha \in (2, 4) \text{ tal que } f(\alpha)=0 \text{ por el Teorema de Bolzano.}}$$