Cálculo de límites. Indeterminaciones y regla de L'Hôpital

**Calcula el siguiente límite: $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x^2 + x - 1} \right)^{2x-1}$ (1.25 puntos)** Primero, analizamos el comportamiento de la base y del exponente cuando $x \to +\infty$: - Para la base: $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2 + x - 1} = 1$ (ya que los términos de mayor grado tienen el mismo coeficiente). - Para el exponente: $\lim_{x \to +\infty} (2x - 1) = +\infty$. Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Cuando tenemos un límite del tipo $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)}$ que resulta en $1^{\infty}$, podemos usar la fórmula: $e^{\lim_{x \to a} g(x) \cdot (f(x) - 1)}$.

Aplicamos la propiedad para resolver este tipo de límites: $$L = e^{\lim_{x \to +\infty} (2x - 1) \cdot \left( \frac{x^2}{x^2 + x - 1} - 1 \right)}$$ Operamos dentro del paréntesis para simplificar la expresión: $$\frac{x^2}{x^2 + x - 1} - 1 = \frac{x^2 - (x^2 + x - 1)}{x^2 + x - 1} = \frac{x^2 - x^2 - x + 1}{x^2 + x - 1} = \frac{-x + 1}{x^2 + x - 1}$$ Sustituimos en el exponente: $$\text{Exponente} = \lim_{x \to +\infty} (2x - 1) \cdot \frac{-x + 1}{x^2 + x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 2x + x - 1}{x^2 + x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3x - 1}{x^2 + x - 1}$$

Calculamos el límite del cociente de polinomios comparando los grados: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3x - 1}{x^2 + x - 1} = -2$$ Como el límite del exponente es $-2$, el resultado del límite original es: $$L = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$$ ✅ **Resultado del primer límite:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x^2 + x - 1} \right)^{2x-1} = e^{-2}}$$

**Calcula el siguiente límite: $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)^2}{\ln (x + 1) - x}$ (1.25 puntos)** Evaluamos el límite en $x = 0$: - Numerador: $(e^0 - 1)^2 = (1 - 1)^2 = 0$. - Denominador: $\ln(0 + 1) - 0 = \ln(1) - 0 = 0 - 0 = 0$. Obtenemos una indeterminación del tipo **$0/0$**. Aplicaremos la **Regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$, siempre que este último exista.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Numerador: $f(x) = (e^x - 1)^2 \implies f'(x) = 2(e^x - 1) \cdot e^x = 2e^{2x} - 2e^x$. - Denominador: $g(x) = \ln(x + 1) - x \implies g'(x) = \frac{1}{x + 1} - 1$. El límite queda: $$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} - 2e^x}{\frac{1}{x + 1} - 1}$$ Evaluamos de nuevo en $x = 0$: - Numerador: $2e^0 - 2e^0 = 2 - 2 = 0$. - Denominador: $\frac{1}{0 + 1} - 1 = 1 - 1 = 0$. Persiste la indeterminación **$0/0$**, por lo que aplicamos L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos nuevamente: - Numerador: $f''(x) = (2e^{2x} - 2e^x)' = 4e^{2x} - 2e^x$. - Denominador: $g''(x) = \left( (x+1)^{-1} - 1 \right)' = -(x+1)^{-2} = -\frac{1}{(x + 1)^2}$. Calculamos el límite de las segundas derivadas: $$\lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} - 2e^x}{-\frac{1}{(x + 1)^2}} = \frac{4e^0 - 2e^0}{-\frac{1}{(0 + 1)^2}} = \frac{4 - 2}{-1} = \frac{2}{-1} = -2$$ ✅ **Resultado del segundo límite:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)^2}{\ln (x + 1) - x} = -2}$$