Centros de una esfera sobre una recta

Para encontrar los puntos de la recta $r$ que cumplen la condición, primero necesitamos expresar la recta en ecuaciones paramétricas. La recta viene dada como intersección de dos planos. Obtenemos su vector director $\vec{v_r}$ mediante el producto vectorial de los vectores normales de ambos planos, $\vec{n_1} = (3, -1, 1)$ y $\vec{n_2} = (1, -1, 3)$: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v_r} = [(-1) \cdot 3 - 1 \cdot (-1)]\vec{i} - [3 \cdot 3 - 1 \cdot 1]\vec{j} + [3 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1]\vec{k}$$ $$\vec{v_r} = (-3 + 1)\vec{i} - (9 - 1)\vec{j} + (-3 + 1)\vec{k} = (-2, -8, -2)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $-2$: $\vec{d_r} = (1, 4, 1)$. Ahora buscamos un punto $P$ de la recta asignando un valor a una de las variables, por ejemplo $z = 0$: $$\begin{cases} 3x - y = 6 \\ x - y = 8 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(3x - x) = 6 - 8 \implies 2x = -2 \implies x = -1$. Sustituyendo $x$ en la segunda: $-1 - y = 8 \implies y = -9$. El punto es $P(-1, -9, 0)$. Por tanto, la recta en paramétricas es: $$r \equiv \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = -9 + 4\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Cualquier punto $C$ que pertenezca a la recta $r$ tendrá la forma $C(-1 + \lambda, -9 + 4\lambda, \lambda)$ para algún valor de $\lambda \in \mathbb{R}$.

Una esfera es tangente a un plano si la distancia desde su centro $C$ al plano $\pi$ es igual al radio $R$ de la esfera. En este caso, el radio es $R = 3$ y el centro es un punto genérico de la recta $r$: $$C(-1 + \lambda, -9 + 4\lambda, \lambda)$$ La fórmula de la distancia de un punto a un plano $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d(C, \pi) = \frac{|Ax_c + By_c + Cz_c + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los datos del plano $\pi \equiv 2x + 2y - z - 7 = 0$ y el punto $C$: $$d(C, \pi) = \frac{|2(-1 + \lambda) + 2(-9 + 4\lambda) - (\lambda) - 7|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia siempre debe ser un valor absoluto en el numerador, lo que generalmente nos dará dos soluciones posibles.

Operamos en el numerador y el denominador de la expresión anterior: Denominador: $\sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$. Numerador: $$| -2 + 2\lambda - 18 + 8\lambda - \lambda - 7 | = | 9\lambda - 27 |$$ Igualamos la distancia al radio: $$\frac{|9\lambda - 27|}{3} = 3 \implies |9\lambda - 27| = 9$$ Podemos simplificar dividiendo por 9 dentro del valor absoluto: $$|\lambda - 3| = 1$$ Esto nos plantea dos casos: 1. $\lambda - 3 = 1 \implies \mathbf{\lambda_1 = 4}$ 2. $\lambda - 3 = -1 \implies \mathbf{\lambda_2 = 2}$

Finalmente, sustituimos los valores de $\lambda$ obtenidos en las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ para hallar los puntos buscados. **Para $\lambda_1 = 4$:** $$x = -1 + 4 = 3$$ $$y = -9 + 4(4) = 7$$ $$z = 4$$ Obtenemos el punto $\mathbf{C_1(3, 7, 4)}$. **Para $\lambda_2 = 2$:** $$x = -1 + 2 = 1$$ $$y = -9 + 4(2) = -1$$ $$z = 2$$ Obtenemos el punto $\mathbf{C_2(1, -1, 2)}$. Representación visual de la situación: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{C_1(3, 7, 4) \text{ y } C_2(1, -1, 2)}$$