Ecuación del plano perpendicular con condición de intersección

Para resolver este problema, debemos determinar el vector normal $\vec{n}_\pi$ del plano que buscamos. Del enunciado extraemos la siguiente información: 1. El plano $\alpha$ tiene como vector normal $\vec{n}_\alpha = (2, -1, -1)$. 2. El punto contenido en el plano es $P(-1, 2, 1)$. 3. La intersección de los planos $\pi$ y $\alpha$ es una recta $s$ paralela a $r$. Esto implica que el vector director de la recta $r$ ($\vec{v}_r$) es también el vector director de la intersección $s$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida como intersección de dos planos se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos.

La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos con vectores normales $\vec{n}_1 = (1, 1, -2)$ y $\vec{n}_2 = (0, 1, -1)$. Calculamos su vector director $\vec{v}_r$ mediante el producto vectorial: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante por la primera fila: $$\vec{v}_r = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = \vec{i} (-1 - (-2)) - \vec{j} (-1 - 0) + \vec{k} (1 - 0)$$ $$\vec{v}_r = \vec{i} (1) + \vec{j} (1) + \vec{k} (1) = (1, 1, 1)$$ Por tanto, la dirección de la intersección de los planos debe ser $\vec{v}_s = (1, 1, 1)$.

El plano $\pi$ debe cumplir dos condiciones geométricas para su vector normal $\vec{n}_\pi$: - Al ser $\pi$ perpendicular a $\alpha$, sus vectores normales deben ser perpendiculares: $\vec{n}_\pi \perp \vec{n}_\alpha$. - Al contener la recta de intersección (que tiene dirección $\vec{v}_r$), el vector normal del plano debe ser perpendicular a dicha dirección: $\vec{n}_\pi \perp \vec{v}_r$. Por tanto, $\vec{n}_\pi$ se obtiene del producto vectorial de $\vec{n}_\alpha$ y $\vec{v}_r$: $$\vec{n}_\pi = \vec{n}_\alpha \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo el determinante: $$\vec{n}_\pi = \vec{i} \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\pi = \vec{i} (-1 - (-1)) - \vec{j} (2 - (-1)) + \vec{k} (2 - (-1))$$ $$\vec{n}_\pi = 0\vec{i} - 3\vec{j} + 3\vec{k} = (0, -3, 3)$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{n}_\pi = (0, -1, 1)$ para facilitar los cálculos.

La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. Usando $\vec{n}_\pi = (0, -1, 1)$, la ecuación es: $$0x - 1y + 1z + D = 0 \implies -y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos el punto $P(-1, 2, 1)$ en la ecuación: $$-(2) + (1) + D = 0$$ $$-1 + D = 0 \implies D = 1$$ La ecuación del plano es $-y + z + 1 = 0$, que multiplicando por $-1$ para normalizar los signos queda como $y - z - 1 = 0$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y - z - 1 = 0}$$