Demostración del determinante del producto de matrices

**Demuestra que se cumple $|A \cdot B| = 0$ para toda matriz $A$ de dimensión $3 \times 2$, siendo $B$ la siguiente matriz: $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.** En primer lugar, definimos una matriz $A$ genérica de dimensión $3 \times 2$. Sea: $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}$$ La matriz $B$ dada es de dimensión $2 \times 3$. Por tanto, el producto $C = A \cdot B$ será una matriz de dimensión $3 \times 3$, lo que nos permite calcular su determinante. 💡 **Tip:** Recuerda que para que el producto $A \cdot B$ sea posible, el número de columnas de $A$ debe coincidir con el número de filas de $B$. El resultado tiene las filas de $A$ y las columnas de $B$ ($3 \times 3$ en este caso).

Realizamos la multiplicación de la matriz $A$ por la matriz $B$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento de la matriz resultante $C$: - Primera fila: $(a_{11} \cdot 1 + a_{12} \cdot 0, \ a_{11} \cdot 0 + a_{12} \cdot 1, \ a_{11} \cdot 1 + a_{12} \cdot 2) = (a_{11}, \ a_{12}, \ a_{11} + 2a_{12})$ - Segunda fila: $(a_{21} \cdot 1 + a_{22} \cdot 0, \ a_{21} \cdot 0 + a_{22} \cdot 1, \ a_{21} \cdot 1 + a_{22} \cdot 2) = (a_{21}, \ a_{22}, \ a_{21} + 2a_{22})$ - Tercera fila: $(a_{31} \cdot 1 + a_{32} \cdot 0, \ a_{31} \cdot 0 + a_{32} \cdot 1, \ a_{31} \cdot 1 + a_{32} \cdot 2) = (a_{31}, \ a_{32}, \ a_{31} + 2a_{32})$ Por tanto: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{11} + 2a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{21} + 2a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{31} + 2a_{32} \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El elemento $c_{ij}$ se obtiene multiplicando la fila $i$ de la primera matriz por la columna $j$ de la segunda.

Observamos la relación entre las columnas de la matriz resultante $C = A \cdot B$. Denotamos a las columnas como $C_1, C_2$ y $C_3$: $$C_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix}, \quad C_2 = \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{pmatrix}, \quad C_3 = \begin{pmatrix} a_{11} + 2a_{12} \\ a_{21} + 2a_{22} \\ a_{31} + 2a_{32} \end{pmatrix}$$ Es evidente que se cumple la siguiente combinación lineal: $$C_3 = C_1 + 2C_2$$ De acuerdo con las **propiedades de los determinantes**, si una fila o columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de las demás, el determinante de dicha matriz es nulo. Por tanto: $$|A \cdot B| = 0$$ 💡 **Tip:** Otra forma de justificarlo es mediante el rango: como $A$ tiene dimensión $3 \times 2$, su rango máximo es 2. Como $B$ tiene dimensión $2 \times 3$, su rango máximo es 2. El rango del producto $\text{rg}(A \cdot B)$ nunca puede superar al rango de sus factores, por lo que $\text{rg}(A \cdot B) \le 2$. Al ser una matriz $3 \times 3$ con rango menor que 3, su determinante es necesariamente 0. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{|A \cdot B| = 0 \quad \text{para toda matriz } A_{3 \times 2}}$$