Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**P1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} a^2-1 & a & a^2 \\ a^2-1 & a+1 & a^2+a \\ 0 & 1 & a^2+2a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a^2-1 & a & a^2 & 1 \\ a^2-1 & a+1 & a^2+a & 2 \\ 0 & 1 & a^2+2a & a+2 \end{array}\right)$$ Para estudiar el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que basa la discusión en el rango de estas matrices. El primer paso es hallar los valores del parámetro $a$ que hacen que el determinante de $A$ sea cero. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si $|A| \neq 0$ en un sistema $3 \times 3$, el rango es 3.

Calculamos $|A|$ aplicando propiedades de los determinantes para simplificar los cálculos. Restamos la primera fila a la segunda ($F_2 - F_1 \to F_2$): $$|A| = \begin{vmatrix} a^2-1 & a & a^2 \\ a^2-1 & a+1 & a^2+a \\ 0 & 1 & a^2+2a \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a^2-1 & a & a^2 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 1 & a^2+2a \end{vmatrix}$$ Ahora desarrollamos por la primera columna: $$|A| = (a^2-1) \begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & a^2+2a \end{vmatrix} = (a^2-1) [1(a^2+2a) - 1(a)]$$ $$|A| = (a^2-1)(a^2+a)$$ Factorizamos las expresiones: $$|A| = (a-1)(a+1) \cdot a(a+1) = a(a-1)(a+1)^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a(a-1)(a+1)^2 = 0 \implies \mathbf{a = 0, \; a = 1, \; a = -1}$$ ✅ **Resultado intermedio:** $$\boxed{|A| = a(a-1)(a+1)^2}$$

Si $a \notin \{0, 1, -1\}$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n$ (número de incógnitas). Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. Procedemos a resolverlo. Usando el sistema simplificado tras la operación $F_2 - F_1$: 1) $(a^2-1)x + ay + a^2z = 1$ 2) $y + az = 1$ 3) $y + (a^2+2a)z = a+2$ Restamos la ecuación 2 a la 3 ($E_3 - E_2$): $$(a^2+2a-a)z = a+2-1 \implies (a^2+a)z = a+1 \implies a(a+1)z = a+1$$ Como $a \neq -1$, podemos dividir por $(a+1)$: $$az = 1 \implies \mathbf{z = \frac{1}{a}}$$ Sustituimos en la ecuación 2: $$y + a\left(\frac{1}{a}\right) = 1 \implies y + 1 = 1 \implies \mathbf{y = 0}$$ Sustituimos en la ecuación 1: $$(a^2-1)x + a(0) + a^2\left(\frac{1}{a}\right) = 1 \implies (a^2-1)x + a = 1$$ $$(a-1)(a+1)x = 1-a \implies (a-1)(a+1)x = -(a-1)$$ Como $a \neq 1$, simplificamos $(a-1)$: $$\mathbf{x = \frac{-1}{a+1}}$$ ✅ **Solución (SCD):** $$\boxed{\left( \frac{-1}{a+1}, 0, \frac{1}{a} \right)}$$

Si $a = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right)$$ $\text{rg}(A) = 2$, ya que el menor $\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$. Estudiamos $\text{rg}(A^*)$ con el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-2+0-1) - (0-2+0) = -3 + 2 = -1 \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. 💡 **Tip:** Si los rangos de $A$ y $A^*$ son distintos, el sistema no tiene solución.

Si $a = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos la segunda fila: $0x + 0y + 0z = 2$, lo cual es una **contradicción** ($0 = 2$). Formalmente: - $\text{rg}(A) = 1$ (todas las filas son proporcionales o nulas). - $\text{rg}(A^*) = 2$ (el menor $\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$). Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

Si $a = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \end{array}\right)$$ Notamos que $F_2 = 2F_1$, por lo que podemos eliminar la segunda fila. El sistema queda: $$\begin{cases} y + z = 1 \\ y + 3z = 3 \end{cases}$$ $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 2$ (el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$). Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. Resolvemos en función de un parámetro. Sea $x = \lambda$: $$E_2 - E_1 \implies (y+3z) - (y+z) = 3 - 1 \implies 2z = 2 \implies \mathbf{z = 1}$$ $$y + 1 = 1 \implies \mathbf{y = 0}$$ ✅ **Solución (SCI):** $$\boxed{(\lambda, 0, 1) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

El resultado teórico empleado es el **Teorema de Rouché-Frobenius**. **Justificación:** Este teorema permite determinar la naturaleza de un sistema de ecuaciones lineales comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$) y el de la matriz ampliada ($A^*$). Su uso es fundamental en sistemas con parámetros porque reduce el problema al estudio de la anulación de determinantes y la dependencia lineal de filas/columnas. **Resumen de la discusión:** - Si $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, -1\}$: **SCD**. Solución: $\left( \frac{-1}{a+1}, 0, \frac{1}{a} \right)$. - Si $a = 1$: **SCI**. Solución: $(\lambda, 0, 1)$. - Si $a = 0$ o $a = -1$: **SI** (Sin solución).