Probabilidad condicionada: Sombreros y pañuelos

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales y organizamos la información en un diagrama de árbol. **Sucesos para el sombrero:** - $S_B$: El sombrero elegido es blanco. - $S_N$: El sombrero elegido es negro. **Sucesos para el pañuelo:** - $P_B$: El pañuelo es blanco. - $P_N$: El pañuelo es negro. - $P_C$: El pañuelo es de cuadros (blanco y negro). **Probabilidades iniciales:** En la cesta hay 9 sombreros (6 blancos y 3 negros): $P(S_B) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ $P(S_N) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ **Probabilidades del pañuelo condicionadas al sombrero:** - Si el sombrero es blanco ($S_B$), el cajón tiene 9 pañuelos (2B, 2N, 5C): $P(P_B|S_B) = \frac{2}{9},\, P(P_N|S_B) = \frac{2}{9},\, P(P_C|S_B) = \frac{5}{9}$ - Si el sombrero es negro ($S_N$), el cajón tiene 10 pañuelos (2B, 4N, 4C): $P(P_B|S_N) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5},\, P(P_N|S_N) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5},\, P(P_C|S_N) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

**a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que en el pañuelo aparezca algún color que no sea el del sombrero.** Este suceso ocurre en los siguientes casos: - Si el sombrero es blanco ($S_B$), el pañuelo debe tener color negro. Esto sucede si el pañuelo es negro ($P_N$) o de cuadros ($P_C$). - Si el sombrero es negro ($S_N$), el pañuelo debe tener color blanco. Esto sucede si el pañuelo es blanco ($P_B$) o de cuadros ($P_C$). Calculamos la probabilidad total sumando estas ramas: $P(\text{color distinto}) = P(S_B) \cdot P(P_N \cup P_C | S_B) + P(S_N) \cdot P(P_B \cup P_C | S_N)$ Sustituimos los valores: $P = \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{2}{9} + \frac{5}{9} \right) + \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{5} \right)$ $P = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{14}{27} + \frac{1}{5}$ Para sumar las fracciones buscamos denominador común ($27 \cdot 5 = 135$): $P = \frac{70}{135} + \frac{27}{135} = \frac{97}{135} \approx 0.7185$ 💡 **Tip:** El pañuelo de cuadros contiene ambos colores, por lo que siempre aporta un color distinto al del sombrero elegido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{97}{135} \approx 0.7185}$$

**b) (0.5 puntos) Calcular la probabilidad de que en al menos uno de los complementos (sombrero o pañuelo) aparezca el color negro.** Es más sencillo calcularlo mediante el suceso complementario: que **ninguno** de los complementos tenga el color negro. Para que no haya color negro, el sombrero debe ser blanco y el pañuelo debe ser blanco (ya que el de cuadros tiene negro). $P(\text{ninguno negro}) = P(S_B \cap P_B) = P(S_B) \cdot P(P_B|S_B)$ $P(\text{ninguno negro}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{9} = \frac{4}{27}$ La probabilidad de que al menos uno tenga negro es: $P(\text{al menos uno negro}) = 1 - P(\text{ninguno negro}) = 1 - \frac{4}{27} = \frac{23}{27} \approx 0.8518$ 💡 **Tip:** El suceso "al menos uno" suele resolverse de forma rápida con $1 - P(\text{ninguno})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{23}{27} \approx 0.8518}$$

**c) (1 punto) Calcular la probabilidad de que el sombrero haya sido negro, sabiendo que el pañuelo ha sido de cuadros.** Se trata de una probabilidad condicionada $P(S_N | P_C)$. Aplicamos el Teorema de Bayes: $$P(S_N | P_C) = \frac{P(S_N \cap P_C)}{P(P_C)} = \frac{P(S_N) \cdot P(P_C | S_N)}{P(P_C)}$$ Primero calculamos la probabilidad total de que el pañuelo sea de cuadros $P(P_C)$: $P(P_C) = P(S_B) \cdot P(P_C | S_B) + P(S_N) \cdot P(P_C | S_N)$ $P(P_C) = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{27} + \frac{2}{15}$ Buscamos denominador común (135): $P(P_C) = \frac{50}{135} + \frac{18}{135} = \frac{68}{135}$ Ahora aplicamos Bayes: $P(S_N | P_C) = \frac{18/135}{68/135} = \frac{18}{68} = \frac{9}{34} \approx 0.2647$ 💡 **Tip:** Recuerda que en el Teorema de Bayes, el denominador es la probabilidad total del suceso que ya sabemos que ha ocurrido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S_N | P_C) = \frac{9}{34} \approx 0.2647}$$