Geometría en el espacio: Incidencia, perpendicularidad y áreas

**a) (0.5 puntos) Verifique que la recta $r_1$ está contenida en el plano $\pi$ y que el punto $P$ pertenece al mismo plano.** Para verificar que la recta $r_1$ está contenida en $\pi$, sustituimos sus ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano: $$x = 1 + \lambda, \quad y = 1 - \lambda, \quad z = -1$$ Sustituyendo en $\pi \equiv x + y + z = 1$: $$(1 + \lambda) + (1 - \lambda) + (-1) = 1 \implies 1 + \lambda + 1 - \lambda - 1 = 1 \implies 1 = 1$$ Como se obtiene una identidad para cualquier valor de $\lambda$, concluimos que **la recta $r_1$ está contenida en el plano $\pi$**. Para el punto $P(0, 1, 0)$, sustituimos sus coordenadas en la ecuación del plano: $$0 + 1 + 0 = 1 \implies 1 = 1$$ Como se cumple la igualdad, **el punto $P$ pertenece al plano $\pi$**. 💡 **Tip:** Una recta está contenida en un plano si todos sus puntos cumplen la ecuación del mismo. Basta con comprobar que el vector director es perpendicular al normal y que un punto de la recta pertenece al plano, o simplemente sustituir las paramétricas como hemos hecho.

**b) (0.75 puntos) Halle una ecuación de la recta contenida en el plano $\pi$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $r_1$.** Llamemos $s$ a la recta que buscamos. Sabemos que: 1. $s$ pasa por $P(0, 1, 0)$. 2. $s$ está en $\pi$, por lo que su vector director $\vec{v}_s$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$. 3. $s$ es perpendicular a $r_1$, por lo que $\vec{v}_s$ debe ser perpendicular al vector director de $r_1$, que es $\vec{v}_{r1} = (1, -1, 0)$. Por tanto, $\vec{v}_s$ debe ser paralelo al producto vectorial de $\vec{n}_\pi$ y $\vec{v}_{r1}$: $$\vec{v}_s = \vec{n}_\pi \times \vec{v}_{r1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus o adjuntos: $$\vec{v}_s = \vec{i}(0) + \vec{j}(1) + \vec{k}(-1) - [\vec{k}(1) + \vec{i}(-1) + \vec{j}(0)]$$ $$\vec{v}_s = (0, 1, -1) - (-1, 0, 1) = (1, 1, -2)$$ $$\boxed{\vec{v}_s = (1, 1, -2)}$$

Utilizando el punto $P(0, 1, 0)$ y el vector director $\vec{v}_s = (1, 1, -2)$, escribimos la ecuación de la recta $s$ en forma paramétrica: $$s \equiv \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = -2\mu \end{cases} \quad \mu \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv (x, y, z) = (0, 1, 0) + \mu(1, 1, -2)}$$

**c) (1.25 puntos) Calcule una ecuación de la recta, $r_2$, que pase por $P$ y sea paralela a $r_1$. Halle el área de un cuadrado que tenga dos de sus lados sobre las rectas $r_1$ y $r_2$.** Si $r_2$ es paralela a $r_1$, comparten el mismo vector director: $\vec{v}_{r2} = \vec{v}_{r1} = (1, -1, 0)$. Como pasa por $P(0, 1, 0)$, su ecuación paramétrica es: $$r_2 \equiv \begin{cases} x = \alpha \\ y = 1 - \alpha \\ z = 0 \end{cases} \quad \alpha \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado (recta $r_2$):** $$\boxed{r_2 \equiv (x, y, z) = (0, 1, 0) + \alpha(1, -1, 0)}$$

El lado del cuadrado ($l$) será la distancia entre las rectas paralelas $r_1$ y $r_2$. Como $P \in r_2$, dicha distancia es $d(r_1, r_2) = d(P, r_1)$. Usamos un punto cualquiera de $r_1$, por ejemplo $A(1, 1, -1)$ (haciendo $\lambda = 0$), y el vector director $\vec{v}_{r1} = (1, -1, 0)$. Definimos el vector $\vec{AP} = P - A = (0-1, 1-1, 0-(-1)) = (-1, 0, 1)$. La fórmula de la distancia de un punto a una recta es: $$d(P, r_1) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}_{r1}|}{|\vec{v}_{r1}|}$$ Calculamos el producto vectorial: $$\vec{AP} \times \vec{v}_{r1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0) + \vec{j}(1) + \vec{k}(1) - [\vec{k}(0) + \vec{i}(-1) + \vec{j}(0)] = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** La distancia entre dos rectas paralelas es constante e igual a la distancia de cualquier punto de una a la otra.

Calculamos los módulos necesarios: $$|\vec{AP} \times \vec{v}_{r1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$ $$|\vec{v}_{r1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$ La distancia (lado del cuadrado) es: $$l = d(P, r_1) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$ El área del cuadrado es $A = l^2$: $$A = \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 1.5 \text{ unidades cuadradas}}$$