Estudio de funciones, extremos y cálculo de áreas

**a) (0.5 puntos) Compruebe si $f(x)$ verifica las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalo $[-1, 1]$.** El Teorema de Bolzano establece que si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y toma valores de signo opuesto en los extremos ($f(a) \cdot f(b) \lt 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. 1. **Continuidad:** La función $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ es una función racional. Su dominio son todos los números reales $\mathbb{R}$ porque el denominador $x^2 + 1$ nunca se anula ($x^2 + 1 \ge 1$ para todo $x$). Por tanto, $f(x)$ es **continua en el intervalo $[-1, 1]$**. 2. **Signos en los extremos:** - Para $x = -1$: $f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2}$ - Para $x = 1$: $f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$ Como $f(-1) = -0.5$ y $f(1) = 0.5$, la función cambia de signo en el intervalo. 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones racionales solo son discontinuas donde el denominador es cero. Si el denominador no tiene raíces reales, la función es continua en todo $\mathbb{R}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí verifica las hipótesis: es continua en } [-1, 1] \text{ y } f(-1) \cdot f(1) \lt 0}$$

**b) (1 punto) Calcule y clasifique los extremos relativos de $f(x)$ en $\mathbb{R}$.** Para hallar los extremos relativos, calculamos primero la derivada de la función $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(1) \cdot (x^2 + 1) - (x) \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Aquí $u = x$ y $v = x^2 + 1$.

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos $x = -1$ y $x = 1$. El denominador $(x^2 + 1)^2$ siempre es positivo, por lo que el signo depende solo del numerador $1 - x^2$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\\hline \text{Monotonía} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ - En $x = -1$: La función pasa de decrecer a crecer, hay un **mínimo relativo**. $y = f(-1) = -1/2$. Punto: $(-1, -0.5)$. - En $x = 1$: La función pasa de crecer a decrecer, hay un **máximo relativo**. $y = f(1) = 1/2$. Punto: $(1, 0.5)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (-1, -0.5) \text{ y Máximo relativo en } (1, 0.5)}$$

**c) (1 punto) Determine el área comprendida entre la gráfica de la función $f(x)$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1, 1]$.** El área viene dada por la integral definida del valor absoluto de la función. Debemos ver si la función corta al eje $OX$ en el intervalo $[-1, 1]$. $f(x) = 0 \implies \frac{x}{x^2 + 1} = 0 \implies x = 0$. Como hay un punto de corte en $x = 0$, dividimos la integral en dos partes: $$A = \left| \int_{-1}^{0} f(x) \, dx \right| + \left| \int_{0}^{1} f(x) \, dx \right|$$ Observamos que $f(x)$ es una función impar ($f(-x) = -f(x)$), por lo que el área a la izquierda del origen será igual a la de la derecha. El área total es: $$A = 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx$$ 💡 **Tip:** Si una función es impar, su gráfica es simétrica respecto al origen, lo que simplifica el cálculo de áreas si el intervalo es simétrico.

Calculamos la primitiva. Es una integral casi inmediata de tipo logarítmico, ya que la derivada del denominador ($x^2 + 1$) es $2x$: $$\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)$$ Aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[0, 1]$: $$A = 2 \left[ \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \right]_0^1 = [\ln(x^2 + 1)]_0^1$$ $$A = \ln(1^2 + 1) - \ln(0^2 + 1) = \ln(2) - \ln(1)$$ Como $\ln(1) = 0$: $$A = \ln(2) \approx 0.6931 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)| + C$. Aquí multiplicamos y dividimos por 2 para ajustar la derivada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \ln(2) \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y = x/(x^2 + 1)", "color": "#2563eb" }, { "id": "reg1", "latex": "x/(x^2 + 1) \le y \le 0 \{-1 \le x \le 0\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "reg2", "latex": "0 \le y \le x/(x^2 + 1) \{0 \le x \le 1\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 2, "bottom": -1, "top": 1 } } }