Problema de reparto proporcional y sistemas de ecuaciones

Para resolver el problema, lo primero es definir las variables que representan las edades de los tres primos: - $x$: Edad de Pablo. - $y$: Edad de Alejandro. - $z$: Edad de Alicia. A partir del enunciado, traducimos las condiciones a ecuaciones matemáticas: 1. La suma de las edades de los tres es 45: $$x + y + z = 45$$ 2. La suma de las edades de Pablo ($x$) y Alejandro ($y$) excede en tres años al doble de la de Alicia ($z$): $$x + y = 2z + 3 \implies x + y - 2z = 3$$ 💡 **Tip:** Cuando un enunciado dice que algo "excede" a otra cosa, sumamos esa cantidad a la parte menor para igualar la ecuación.

El premio de 9450 € se reparte de forma **directamente proporcional** a las edades. Esto significa que si $C_P$ es el dinero de Pablo y $C_{Ac}$ el de Alicia, se cumple: $$C_P = k \cdot x \quad \text{y} \quad C_{Ac} = k \cdot z$$ Donde $k$ es la constante de proporcionalidad, que se calcula dividiendo el total del premio entre el total de las edades: $$k = \frac{9450}{x+y+z} = \frac{9450}{45} = 210 \text{ €/año}$$ Se nos indica que la diferencia entre lo que recibe Pablo y Alicia es 420 €: $$C_P - C_{Ac} = 420 \implies 210x - 210z = 420$$ Dividiendo toda la ecuación entre 210, obtenemos la tercera ecuación simplificada: $$x - z = 2$$ 💡 **Tip:** En repartos proporcionales, la constante $k = \frac{\text{Total a repartir}}{\text{Suma de las partes}}$. Cada individuo recibe $k$ veces su valor correspondiente.

Tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: $$\begin{cases} x + y + z = 45 & \text{(1)} \\ x + y - 2z = 3 & \text{(2)} \\ x - z = 2 & \text{(3)} \end{cases}$$ Podemos resolverlo por sustitución o reducción. Restamos la ecuación (2) a la (1): $$(x + y + z) - (x + y - 2z) = 45 - 3$$ $$3z = 42 \implies z = \frac{42}{3} = 14$$ Ahora, usamos el valor de $z = 14$ en la ecuación (3): $$x - 14 = 2 \implies x = 16$$ Finalmente, sustituimos $x=16$ y $z=14$ en la ecuación (1) para hallar $y$: $$16 + y + 14 = 45 \implies 30 + y = 45 \implies y = 15$$ Las edades de los primos son: $$\boxed{x = 16, \quad y = 15, \quad z = 14}$$ 💡 **Tip:** Al restar ecuaciones que comparten variables (como $x+y$ en este caso), eliminamos varias incógnitas de golpe, agilizando la resolución.

Una vez conocidas las edades, multiplicamos cada una por la constante de proporcionalidad $k = 210$ €/año para obtener el dinero del premio: - **Pablo ($x=16$):** $16 \cdot 210 = 3360$ € - **Alejandro ($y=15$):** $15 \cdot 210 = 3150$ € - **Alicia ($z=14$):** $14 \cdot 210 = 2940$ € **Comprobación:** Suma total: $3360 + 3150 + 2940 = 9450$ € (Correcto). Diferencia Pablo-Alicia: $3360 - 2940 = 420$ € (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Edades: Pablo 16, Alejandro 15, Alicia 14 años} \\ \text{Premio: Pablo 3360 €, Alejandro 3150 €, Alicia 2940 €} \end{matrix}}$$