Probabilidad Binomial y Aproximación a la Normal

**a) (0.75 puntos) Halle la probabilidad de que la mitad fueran mujeres.** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de mujeres en un grupo de $n=10$ consejeros. Dado que la probabilidad de que un consejero elegido al azar sea mujer es $p = 0.277$ (o $27.7 \%$) y las selecciones son independientes, $X$ sigue una distribución binomial: $$X \sim B(10, \, 0.277)$$ La fórmula de la probabilidad para una binomial es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ En este caso, nos piden la probabilidad de que la mitad sean mujeres, es decir, $k=5$: $$P(X=5) = \binom{10}{5} (0.277)^5 (1-0.277)^{10-5}$$ $$P(X=5) = 252 \cdot (0.277)^5 \cdot (0.723)^5$$ $$P(X=5) \approx 252 \cdot 0.001655 \cdot 0.19702 \approx 0.0821$$ 💡 **Tip:** El número combinatorio $\binom{10}{5}$ se calcula como $\frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=5) \approx 0.0821}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que hubiese al menos un hombre.** Sea $X$ el número de mujeres. Si hay "al menos un hombre" en un grupo de 10 personas, significa que no todas son mujeres. El suceso contrario a "al menos un hombre" es "todas son mujeres" ($X=10$). Por la propiedad del suceso complementario: $$P(\text{al menos un hombre}) = 1 - P(X=10)$$ Calculamos $P(X=10)$: $$P(X=10) = \binom{10}{10} (0.277)^{10} (0.723)^0 = 1 \cdot (0.277)^{10} \cdot 1$$ $$P(X=10) \approx 0.00000277$$ Entonces: $$P(\text{al menos un hombre}) = 1 - 0.00000277 = 0.99999723$$ 💡 **Tip:** Cuando un suceso es "al menos uno", suele ser mucho más rápido calcular $1 - P(\text{ninguno})$. En este caso, "al menos un hombre" es el complementario de "cero hombres", que equivale a "diez mujeres". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{al menos un hombre}) \approx 0.999997}$$

**c) (1 punto) Determine, aproximando mediante una distribución normal, la probabilidad de que en un congreso de doscientos consejeros de estas empresas hubiera como mínimo un $35 \%$ de representación femenina.** Ahora tenemos una muestra mayor, $n=200$, con $p=0.277$. La variable $Y$ (número de mujeres) sigue una $B(200, \, 0.277)$. Primero, comprobamos si podemos aproximar por una normal: 1. $n \cdot p = 200 \cdot 0.277 = 55.4 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 200 \cdot (1 - 0.277) = 200 \cdot 0.723 = 144.6 \gt 5$ Como se cumplen las condiciones, aproximamos $Y$ por una variable normal $Y' \sim N(\mu, \sigma)$ donde: $$\mu = n \cdot p = 55.4$$ $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{200 \cdot 0.277 \cdot 0.723} = \sqrt{40.0542} \approx 6.3288$$ Por tanto, $Y \approx Y' \sim N(55.4, \, 6.3288)$. Buscamos que haya al menos un $35 \%$ de mujeres. Calculamos el valor umbral: $$35 \% \text{ de } 200 = 0.35 \cdot 200 = 70 \text{ mujeres}.$$ Queremos calcular $P(Y \ge 70)$. 💡 **Tip:** Para aproximar una distribución discreta (Binomial) por una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**, de modo que $P(Y \ge k)$ se convierte en $P(Y' \ge k - 0.5)$.

Aplicamos la corrección de continuidad: $$P(Y \ge 70) \approx P(Y' \ge 69.5)$$ Ahora tipificamos la variable para usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$Z = \frac{Y' - \mu}{\sigma} = \frac{69.5 - 55.4}{6.3288} = \frac{14.1}{6.3288} \approx 2.2279$$ Redondeamos a dos decimales para usar la tabla: $z = 2.23$. $$P(Z \ge 2.23) = 1 - P(Z \lt 2.23)$$ Consultando en la tabla de la $N(0, 1)$: $$P(Z \lt 2.23) = 0.9871$$ $$P(Z \ge 2.23) = 1 - 0.9871 = 0.0129$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la tabla de la normal suele dar la probabilidad acumulada hacia la izquierda, $P(Z \lt z)$. Por simetría y área total 1, $P(Z \gt z) = 1 - P(Z \lt z)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Y \ge 70) \approx 0.0129}$$