Trayectoria de partícula y dispositivo láser

**a) (0.5 puntos) Calcule un vector director de $r$ y la posición de la partícula cuando su trayectoria incide con el plano $z = 0$.** La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Sus vectores normales son: $$\vec{n}_1 = (2, -1, 0) \quad \text{y} \quad \vec{n}_2 = (1, 0, -1)$$ El vector director de la recta, $\vec{v}_r$, se obtiene mediante el producto vectorial de ambos vectores normales: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(-1)(-1) + \mathbf{j}(0)(1) + \mathbf{k}(2)(0) - [\mathbf{k}(-1)(1) + \mathbf{i}(0)(0) + \mathbf{j}(2)(-1)]$$ $$\vec{v}_r = \mathbf{i} - [-\mathbf{k} - 2\mathbf{j}] = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k} = (1, 2, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de los normales de los planos que definen una recta siempre nos da la dirección de dicha recta. $$\boxed{\vec{v}_r = (1, 2, 1)}$$

Para hallar la posición de la partícula cuando incide con el plano $z = 0$, sustituimos este valor en las ecuaciones de la recta $r$: 1. De la segunda ecuación: $x - z = -90 \implies x - 0 = -90 \implies x = -90$. 2. Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $2x - y = 10 \implies 2(-90) - y = 10$. $$-180 - y = 10 \implies y = -190$$ Por lo tanto, la posición de la partícula es el punto $Q(-90, -190, 0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q(-90, -190, 0)}$$

**b) (1.25 puntos) Calcule la posición más próxima de la partícula al dispositivo láser.** La posición más próxima de la partícula al punto $P(1, 1, 1)$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta $r$. Primero, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas utilizando el punto $Q(-90, -190, 0)$ hallado anteriormente y el vector director $\vec{v}_r = (1, 2, 1)$: $$r \equiv \begin{cases} x = -90 + \lambda \\ y = -190 + 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Un punto genérico de la recta es $R_\lambda(-90+\lambda, -190+2\lambda, \lambda)$. El vector que une el láser $P$ con cualquier punto de la partícula es: $$\vec{PR_\lambda} = (-90+\lambda - 1, -190+2\lambda - 1, \lambda - 1) = (\lambda - 91, 2\lambda - 191, \lambda - 1)$$

Para encontrar el punto $M$ más próximo, construimos un plano $\pi$ que sea perpendicular a la recta $r$ y que pase por $P(1, 1, 1)$. El vector normal del plano será el vector director de la recta: $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (1, 2, 1)$. La ecuación del plano es: $$1(x - 1) + 2(y - 1) + 1(z - 1) = 0$$ $$x + 2y + z - 4 = 0$$ Ahora buscamos la intersección de la recta $r$ con este plano $\pi$ sustituyendo las coordenadas paramétricas de $r$ en la ecuación del plano: $$(-90 + \lambda) + 2(-190 + 2\lambda) + \lambda - 4 = 0$$ $$-90 + \lambda - 380 + 4\lambda + \lambda - 4 = 0$$ $$6\lambda - 474 = 0 \implies 6\lambda = 474 \implies \lambda = 79$$ Sustituimos $\lambda = 79$ en las paramétricas de $r$ para obtener el punto $M$: $$x = -90 + 79 = -11$$ $$y = -190 + 2(79) = -190 + 158 = -32$$ $$z = 79$$ 💡 **Tip:** El punto de una recta más cercano a un punto exterior es siempre su proyección ortogonal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{M(-11, -32, 79)}$$

**c) (0.75 puntos) Determine el ángulo entre el plano de ecuación $x + y = 2$ y la recta $r$.** Sean $\vec{v}_r = (1, 2, 1)$ el vector director de la recta y $\vec{n}_\pi = (1, 1, 0)$ el vector normal del plano dado $x + y - 2 = 0$. El ángulo $\alpha$ entre una recta y un plano se calcula mediante la fórmula del seno: $$\sin \alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{n}_\pi|}$$ Calculamos el producto escalar: $$|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi| = |(1)(1) + (2)(1) + (1)(0)| = |1 + 2 + 0| = 3$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$$ $$|\vec{n}_\pi| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$ Sustituimos en la fórmula: $$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{3}$: $$\sin \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Buscamos el ángulo cuyo seno es $\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ rad}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 60^\circ}$$