Estudio de continuidad, derivabilidad, simetría e integración de una función exponencial

**a) (1 punto) Estudie la continuidad y derivabilidad de $f(x)$ en $x = 0$.** Para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, debe cumplirse que $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. 1. Valor de la función: $f(0) = 0$. 2. Límite de la función: $$\lim_{x \to 0} x^3 e^{-1/x^2}$$ Analizamos el exponente: cuando $x \to 0$, $x^2 \to 0^+$, por lo que $-\frac{1}{x^2} \to -\infty$. Sabiendo que $\lim_{t \to -\infty} e^t = 0$, tenemos: $$\lim_{x \to 0} e^{-1/x^2} = 0$$ Por lo tanto: $$\lim_{x \to 0} x^3 e^{-1/x^2} = 0 \cdot 0 = 0$$ Como $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$, la función es **continua en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para estudiar la continuidad en un punto crítico de una función a trozos, comparamos el valor de la función con sus límites laterales (si las ramas cambian a izquierda/derecha) o con el límite general.

Para estudiar la derivabilidad en $x = 0$, utilizamos la definición de derivada mediante el límite del cociente incremental, ya que la función está definida de forma distinta en el punto: $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 e^{-1/h^2} - 0}{h}$$ Simplificamos la expresión: $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 e^{-1/h^2}}{h} = \lim_{h \to 0} h^2 e^{-1/h^2}$$ Como vimos en el paso anterior, cuando $h \to 0$, el término exponencial $e^{-1/h^2} \to 0$. Así: $$f'(0) = 0 \cdot 0 = 0$$ Al existir el límite y ser un valor finito, la función es **derivable en $x = 0$** y su derivada es $f'(0) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f(x) es continua y derivable en } x = 0}$$

**b) (0.5 puntos) Estudie si $f(x)$ presenta algún tipo de simetría par o impar.** Para estudiar la simetría, evaluamos $f(-x)$ para $x \neq 0$: $$f(-x) = (-x)^3 e^{-1/(-x)^2}$$ Calculamos las potencias: - $(-x)^3 = -x^3$ - $(-x)^2 = x^2$ Sustituyendo: $$f(-x) = -x^3 e^{-1/x^2}$$ Observamos la relación con la función original: $$f(-x) = -(x^3 e^{-1/x^2}) = -f(x)$$ Al cumplirse que $f(-x) = -f(x)$, la función posee **simetría impar** (es simétrica respecto al origen de coordenadas). 💡 **Tip:** Simetría par si $f(-x) = f(x)$ (respecto al eje Y). Simetría impar si $f(-x) = -f(x)$ (respecto al origen). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función presenta simetría impar}}$$

**c) (1 punto) Calcule la siguiente integral: $\int_1^2 \frac{f(x)}{x^6} dx$.** Sustituimos la expresión de $f(x)$ para el intervalo $[1, 2]$ (donde $x \neq 0$): $$I = \int_1^2 \frac{x^3 e^{-1/x^2}}{x^6} dx = \int_1^2 \frac{e^{-1/x^2}}{x^3} dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$I = \int_1^2 x^{-3} e^{-x^{-2}} dx$$

Para resolver la integral, realizamos un cambio de variable conveniente. Sea: $$u = -\frac{1}{x^2} = -x^{-2}$$ Calculamos el diferencial $du$: $$du = (-1) \cdot (-2) x^{-3} dx = \frac{2}{x^3} dx \implies \frac{1}{2} du = \frac{1}{x^3} dx$$ Cambiamos los límites de integración: - Si $x = 1 \implies u = -\frac{1}{1^2} = -1$ - Si $x = 2 \implies u = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$ Sustituimos en la integral: $$I = \int_{-1}^{-1/4} e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{-1}^{-1/4} e^u du$$ La integral de $e^u$ es inmediata: $$I = \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_{-1}^{-1/4}$$ 💡 **Tip:** Cuando realices un cambio de variable en una integral definida, es mucho más cómodo cambiar también los límites de integración para no tener que deshacer el cambio al final.

Aplicamos la regla de Barrow: $$I = \frac{1}{2} \left( e^{-1/4} - e^{-1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt[4]{e}} - \frac{1}{e} \right)$$ Podemos dejar el resultado expresado de forma exacta: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_1^2 \frac{f(x)}{x^6} dx = \frac{1}{2} (e^{-1/4} - e^{-1}) = \frac{e^{3/4}-1}{2e}}$$