Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) (2 puntos) Discuta el sistema en función de los valores de $m$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2m & 1 \\ m & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2m & 1 & 1 \\ m & 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} 1 & -2m & 1 \\ m & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 \cdot 1) + (-2m \cdot -1 \cdot 1) + (1 \cdot m \cdot -1) - [ (1 \cdot 2 \cdot 1) + (m \cdot -2m \cdot 1) + (-1 \cdot -1 \cdot 1) ]$$ $$|A| = (2 + 2m - m) - (2 - 2m^2 + 1) = m + 2 - (3 - 2m^2) = 2m^2 + m - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante de una matriz $3 \times 3$ se puede calcular por Sarrus sumando los productos de las diagonales principales y restando los de las secundarias.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ que cambian el rango de la matriz: $$2m^2 + m - 1 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$$ Esto nos da dos soluciones: - $m_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ - $m_2 = \frac{-4}{4} = -1$ Estos valores dividen nuestro estudio en tres casos según el **Teorema de Rouché-Frobenius**.

Si $m \neq \frac{1}{2}$ y $m \neq -1$, entonces $\det(A) \neq 0$. Esto implica que: $$\text{rango}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ tiene un tamaño de $3 \times 4$, su rango máximo es 3. Al contener a la matriz $A$ con rango 3, automáticamente: $$\text{rango}(A^*) = 3$$ Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$ (que es el número de incógnitas), por el Teorema de Rouché-Frobenius: **Si $m \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1/2\}$, el sistema es Compatible Determinado (SCD).**

Si $m = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-2) = 4 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Observamos que las columnas $C_1$, $C_3$ y $C_4$ son idénticas: $$C_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, C_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, C_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Cualquier determinante de orden 3 que escojamos dentro de $A^*$ tendrá dos columnas iguales, por lo que su valor será cero. Así: $$\text{rango}(A^*) = 2$$ Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$ (incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. 💡 **Tip:** Si en una matriz hay columnas proporcionales o iguales, el determinante de cualquier submatriz que las contenga será 0.

Si $m = \frac{1}{2}$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1/2 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera y la tercera fila son idénticas ($F_1 = F_3$). Esto implica que el rango no puede ser 3. Buscamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1/2 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-1/2) = 2.5 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Como la tercera fila de $A^*$ es igual a la primera, el rango de la ampliada también es 2: $$\text{rango}(A^*) = 2$$ Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. **Conclusión de la discusión:** - **Si $m \neq -1$ y $m \neq 1/2$: Sistema Compatible Determinado.** - **Si $m = -1$: Sistema Compatible Indeterminado.** - **Si $m = 1/2$: Sistema Compatible Indeterminado.** $$\boxed{\text{SCD si } m \notin \{-1, 1/2\}; \text{ SCI si } m = -1 \text{ o } m = 1/2}$$

**b) (0.5 puntos) Resuelva el sistema para el valor $m = \frac{1}{2}$.** Como hemos visto, para $m = 1/2$ el sistema es SCI con rango 2. Usamos las dos primeras ecuaciones (ya que la tercera es redundante): $$\begin{cases} x - y + z = 1 \\ \frac{1}{2}x + 2y - z = -1 \end{cases}$$ Como el rango es 2, dejamos una incógnita como parámetro. Sea $x = \lambda$. El sistema queda: $$\begin{cases} -y + z = 1 - \lambda \\ 2y - z = -1 - \frac{1}{2}\lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $z$: $$(-y + z) + (2y - z) = (1 - \lambda) + (-1 - \frac{1}{2}\lambda)$$ $$y = -\frac{3}{2}\lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$-(-\frac{3}{2}\lambda) + z = 1 - \lambda \implies \frac{3}{2}\lambda + z = 1 - \lambda$$ $$z = 1 - \lambda - \frac{3}{2}\lambda = 1 - \frac{5}{2}\lambda$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \lambda, \quad y = -\frac{3}{2}\lambda, \quad z = 1 - \frac{5}{2}\lambda \quad (\text{con } \lambda \in \mathbb{R})}$$ 💡 **Tip:** Para evitar fracciones en la solución final, podrías haber elegido $x = 2\lambda$, resultando en $x=2\lambda, y=-3\lambda, z=1-5\lambda$. Ambas son correctas.