Probabilidad de exportación y Teorema de Bayes

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos básicos según el tipo de producto y si se destina a la exportación o no: - $A$: El producto es de tipo A. - $B$: El producto es de tipo B. - $C$: El producto es de tipo C. - $E$: El producto se destina a la exportación. - $\bar{E}$: El producto no se destina a la exportación. Extraemos las probabilidades del enunciado: - $P(A) = \dfrac{4}{7}$ - $P(B) = \dfrac{2}{7}$ - $P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{1}{7}$ Probabilidades condicionadas (porcentaje de exportación por tipo): - $P(E|A) = 40\% = 0.4$ - $P(E|B) = 60\% = 0.6$ - $P(E|C) = 20\% = 0.2$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos elementales (tipos de productos) debe ser igual a 1.

Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad para visualizar mejor los caminos:

**a) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que el producto sea destinado a la exportación.** Para calcular la probabilidad total de exportación, $P(E)$, sumamos las probabilidades de exportación para cada tipo de producto. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(E) = P(A) \cdot P(E|A) + P(B) \cdot P(E|B) + P(C) \cdot P(E|C)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(E) = \left( \frac{4}{7} \cdot 0.4 \right) + \left( \frac{2}{7} \cdot 0.6 \right) + \left( \frac{1}{7} \cdot 0.2 \right)$$ Para facilitar el cálculo, expresamos los decimales como fracciones: $$P(E) = \left( \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{10} \right) + \left( \frac{2}{7} \cdot \frac{6}{10} \right) + \left( \frac{1}{7} \cdot \frac{2}{10} \right)$$ $$P(E) = \frac{16}{70} + \frac{12}{70} + \frac{2}{70} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}$$ El valor decimal aproximado es $P(E) \approx 0.4286$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E) = \frac{3}{7} \approx 0.4286}$$

**b) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que sea del tipo C sabiendo que el producto es destinado a la exportación.** Se nos pide una probabilidad a posteriori: $P(C|E)$. Para ello utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C|E) = \frac{P(C) \cdot P(E|C)}{P(E)}$$ Ya conocemos los valores del numerador y el denominador: - Numerador (Probabilidad de que sea tipo C y se exporte): $P(C \cap E) = \dfrac{1}{7} \cdot 0.2 = \dfrac{1}{7} \cdot \dfrac{2}{10} = \dfrac{2}{70}$ - Denominador (Probabilidad total de exportación): $P(E) = \dfrac{3}{7} = \dfrac{30}{70}$ Sustituimos en la fórmula: $$P(C|E) = \frac{\frac{2}{70}}{\frac{30}{70}} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$ El valor decimal aproximado es $P(C|E) \approx 0.0667$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad condicionada. Si conocemos $P(E|C)$, podemos hallar $P(C|E)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|E) = \frac{1}{15} \approx 0.0667}$$