Posición relativa, distancia entre rectas y planos

**a) (1.5 puntos) Estudie la posición relativa de las rectas dadas y calcule la distancia entre ellas.** Primero, obtenemos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $s$ (en forma paramétrica): - Punto $P_s = (2, 5, 0)$ - Vector director $\vec{v}_s = (-2, 2, 1)$ Para la recta $r$ (en forma implícita), calculamos el vector director mediante el producto vectorial de los normales de los planos que la definen: $$\vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2-0) - \mathbf{j}(-2-0) + \mathbf{k}(1-0) = (-2, 2, 1)$$ Buscamos un punto $P_r$ de $r$ haciendo, por ejemplo, $z = 0$: $$y - 2(0) + 1 = 0 \implies y = -1$$ $$x + (-1) + 2 = 0 \implies x = -1$$ Luego, $P_r = (-1, -1, 0)$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por la intersección de dos planos se puede hallar como el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos.

Comparamos los vectores directores $\vec{v}_r = (-2, 2, 1)$ y $\vec{v}_s = (-2, 2, 1)$. Como son iguales (o proporcionales), las rectas son **paralelas o coincidentes**. Para verificar si son coincidentes, comprobamos si el punto $P_s(2, 5, 0)$ pertenece a la recta $r$ sustituyendo sus coordenadas en las ecuaciones implícitas de $r$: 1. $2 + 5 + 2 = 9 \neq 0$ 2. $5 - 2(0) + 1 = 6 \neq 0$ Como el punto no satisface las ecuaciones, las rectas son **paralelas y distintas**. ✅ **Resultado (Posición relativa):** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son paralelas}}$$

La distancia entre dos rectas paralelas es la distancia de un punto de una de ellas a la otra recta. Usaremos la fórmula: $$d(r, s) = d(P_s, r) = \frac{|\vec{P_r P_s} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}$$ Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = (2 - (-1), 5 - (-1), 0 - 0) = (3, 6, 0)$$ Calculamos el producto vectorial $\vec{P_r P_s} \times \vec{v}_r$: $$\vec{P_r P_s} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 6 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(6-0) - \mathbf{j}(3-0) + \mathbf{k}(6 - (-12)) = (6, -3, 18)$$ Calculamos los módulos: - $|\vec{P_r P_s} \times \vec{v}_r| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 18^2} = \sqrt{36 + 9 + 324} = \sqrt{369} = \sqrt{9 \cdot 41} = 3\sqrt{41}$ - $|\vec{v}_r| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$ Sustituyendo en la fórmula: $$d(r, s) = \frac{3\sqrt{41}}{3} = \sqrt{41} \approx 6.40 \text{ u.}$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(r, s) = \sqrt{41}}$$

**b) (0.5 puntos) Determine una ecuación del plano $\pi$ que contiene a las rectas $r$ y $s$.** Como las rectas son paralelas, el plano $\pi$ estará determinado por un punto (por ejemplo, $P_r$) y dos vectores directores no colineales: el vector director de las rectas $\vec{v}_r$ y el vector que une puntos de ambas rectas $\vec{P_r P_s}$. - Punto: $P_r(-1, -1, 0)$ - Vectores: $\vec{v}_r = (-2, 2, 1)$ y $\vec{P_r P_s} = (3, 6, 0)$ Calculamos el vector normal $\vec{n}_\pi$ mediante el producto vectorial (ya realizado en el paso anterior): $$\vec{n}_\pi = \vec{P_r P_s} \times \vec{v}_r = (6, -3, 18)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $3$: $\vec{n}'_\pi = (2, -1, 6)$. La ecuación del plano será: $$2x - y + 6z + D = 0$$ Sustituimos el punto $P_r(-1, -1, 0)$ para hallar $D$: $$2(-1) - (-1) + 6(0) + D = 0 \implies -2 + 1 + D = 0 \implies D = 1$$ ✅ **Resultado (Plano):** $$\boxed{\pi \equiv 2x - y + 6z + 1 = 0}$$

**c) (0.5 puntos) Sean $P$ y $Q$ los puntos de las rectas $r$ y $s$, respectivamente, que están contenidos en el plano de ecuación $z = 0$. Calcular una ecuación de la recta que pasa por los puntos $P$ y $Q$.** Primero hallamos los puntos $P$ y $Q$: - $P$ es el punto de $r$ con $z = 0$. Ya lo calculamos en el apartado (a): **$P(-1, -1, 0)$**. - $Q$ es el punto de $s$ con $z = 0$. En las paramétricas de $s$: $z = t \implies t = 0$. Sustituyendo $t=0$: $$x = 2 - 2(0) = 2$$ $$y = 5 + 2(0) = 5$$ Luego, **$Q(2, 5, 0)$**. La recta $L$ que pasa por $P$ y $Q$ tiene como vector director: $$\vec{v}_L = \vec{PQ} = (2 - (-1), 5 - (-1), 0 - 0) = (3, 6, 0)$$ Podemos usar como vector director $\vec{u} = (1, 2, 0)$ (simplificando). Usando el punto $P(-1, -1, 0)$ y el vector $(1, 2, 0)$, la ecuación paramétrica es: $$\begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Recta):** $$\boxed{L \equiv \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 0 \end{cases} \lambda \in \mathbb{R}}$$