Estudio de continuidad, derivabilidad, monotonía e integración de una función a trozos

**a) (0.5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de $f(x)$ en $x = 0$.** Para que una función sea continua en un punto $x = a$, deben coincidir el valor de la función y sus límites laterales. Comprobamos en $x = 0$: 1. **Valor de la función**: $f(0) = 0$ (usando la primera rama). 2. **Límite por la izquierda**: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$. 3. **Límite por la derecha**: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x \ln(x)$. El límite por la derecha presenta una indeterminación de tipo $0 \cdot (-\infty)$. Para resolverla, aplicamos la **Regla de L'Hôpital** reescribiendo la expresión: $$\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{1/x} = \left[ \frac{-\infty}{\infty} \right]$$ Derivamos numerador y denominador: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0.$$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$, la función es **continua en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar L'Hôpital en productos $0 \cdot \infty$, debemos pasar uno de los factores al denominador como su recíproco ($1/g(x)$).

Una vez comprobada la continuidad, estudiamos la derivabilidad calculando la función derivada en las cercanías de $x = 0$: $$f'(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x < 0 \\ \ln(x) + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales mediante límites de $f'(x)$: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} 1 = 1$. - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (\ln(x) + 1) = -\infty$. Al no ser finita e igual la derivada por la derecha, la función **no es derivable en $x = 0$**. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{f(x) es continua en } x=0 \text{ pero no es derivable en } x=0}$$

**b) (1 punto) Estudie los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x)$, así como los máximos y mínimos relativos.** Analizamos el signo de $f'(x)$ en cada rama del dominio: **Rama 1 ($x < 0$):** $f'(x) = 1$. Como $1 > 0$, la función es siempre **creciente** en $(-\infty, 0)$. **Rama 2 ($x > 0$):** $f'(x) = \ln(x) + 1$. Buscamos puntos críticos igualando a cero: $$\ln(x) + 1 = 0 \implies \ln(x) = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0.368.$$ 💡 **Tip:** El dominio de la rama logarítmica es $x > 0$, por lo que solo consideramos valores positivos.

Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos definidos por $x=0$ y $x=1/e$: $$\begin{array}{c|ccc|c} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1/e) & 1/e & (1/e, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{cont.} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) > 0 \implies$ **Creciente**. - En $(0, 1/e)$, tomamos $x=0.1$: $\ln(0.1)+1 \approx -1.3 < 0 \implies$ **Decreciente**. - En $(1/e, +\infty)$, tomamos $x=1$: $\ln(1)+1 = 1 > 0 \implies$ **Creciente**. **Extremos relativos:** - En $x = 1/e$ hay un **mínimo relativo**. Calculamos su ordenada: $f(1/e) = \frac{1}{e} \ln(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}(-1) = -\frac{1}{e}$. - En $x = 0$ hay un **máximo relativo** (cambio de creciente a decreciente y continuidad). ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente: } (-\infty, 0) \cup (1/e, +\infty) \\ &\text{Decreciente: } (0, 1/e) \\ &\text{Mínimo relativo: } (1/e, -1/e) \\ &\text{Máximo relativo: } (0, 0) \end{aligned}}$$

**c) (1 punto) Calcule $\int_{1}^{2} f(x)dx$.** Dado que el intervalo de integración $[1, 2]$ está contenido en el dominio $x > 0$, utilizamos la segunda rama de la función: $f(x) = x \ln(x)$. Calculamos primero la integral indefinida $\int x \ln(x) dx$ mediante **integración por partes**: Sea $u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} dx$ Sea $dv = x dx \implies v = \frac{x^2}{2}$ $$\int x \ln(x) dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2 \ln(x)}{2} - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2 \ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Para logaritmos, solemos elegir $u = \ln(x)$.

Aplicamos los límites de integración de 1 a 2: $$\int_{1}^{2} x \ln(x) dx = \left[ \frac{x^2 \ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4} \right]_1^2$$ Evaluamos en los extremos: - Para $x = 2$: $\frac{2^2 \ln(2)}{2} - \frac{2^2}{4} = 2 \ln(2) - 1$. - Para $x = 1$: $\frac{1^2 \ln(1)}{2} - \frac{1^2}{4} = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$. Restamos los valores: $$(2 \ln(2) - 1) - \left( -\frac{1}{4} \right) = 2 \ln(2) - 1 + \frac{1}{4} = 2 \ln(2) - \frac{3}{4}$$ ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{\int_{1}^{2} f(x)dx = 2 \ln(2) - \frac{3}{4} \approx 0.6363}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\{x\\le 0: x, x > 0: x \\\\ln(x)\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "area", "latex": "0 \\\\le y \\\\le x \\\\ln(x) \\{1 \\\\le x \\\\le 2\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 3, "bottom": -1, "top": 2 } } }