Matrices, rangos y sistemas de ecuaciones

**a) (1 punto) Calcule para qué valores del parámetro $k$ tiene inversa la matriz $AB$. Calcule la matriz inversa de $AB$ para $k = 1$.** Primero, calculamos el producto $AB$. La matriz $A$ es de dimensión $2 \times 3$ y la matriz $B$ es de $3 \times 2$, por lo que el producto $AB$ será una matriz de dimensión $2 \times 2$. $$AB = \begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ k & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1) + (-1)(1) + k(1) & 1(1) + (-1)(-1) + k(0) \\ k(1) + 1(1) + (-1)(1) & k(1) + 1(-1) + (-1)(0) \end{pmatrix}$$ Operando cada elemento: $$AB = \begin{pmatrix} 1 - 1 + k & 1 + 1 + 0 \\ k + 1 - 1 & k - 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 2 \\ k & k - 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $AB$: $$|AB| = \begin{vmatrix} k & 2 \\ k & k - 1 \end{vmatrix} = k(k - 1) - 2k = k^2 - k - 2k = k^2 - 3k$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$k^2 - 3k = 0 \implies k(k - 3) = 0 \implies k = 0, \quad k = 3$$ Por tanto, la matriz $AB$ tiene inversa para todos los valores de $k$ distintos de $0$ y $3$. ✅ **Resultado (valores de k):** $$\boxed{k \in \mathbb{R} \setminus \{0, 3\}}$$

Para $k = 1$, la matriz $AB$ es: $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Su determinante es $|AB| = 1^2 - 3(1) = -2$. Calculamos la matriz adjunta $(AB)^t$ o directamente por el método de la matriz adjunta: $$Adj(AB) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ La matriz inversa se calcula como $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} (Adj(AB))^t$: $$(AB)^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{(AB)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Calcule $BA$ y discuta su rango en función del valor del parámetro real $k$.** Calculamos el producto $BA$, que será una matriz de dimensión $3 \times 3$: $$BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ k & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+k & -1+1 & k-1 \\ 1-k & -1-1 & k+1 \\ 1+0 & -1+0 & k+0 \end{pmatrix}$$ Simplificando los elementos: $$BA = \begin{pmatrix} 1 + k & 0 & k - 1 \\ 1 - k & -2 & k + 1 \\ 1 & -1 & k \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz BA):** $$\boxed{BA = \begin{pmatrix} 1 + k & 0 & k - 1 \\ 1 - k & -2 & k + 1 \\ 1 & -1 & k \end{pmatrix}}$$

Para discutir el rango, primero observamos que el determinante de $BA$ debe ser $0$ para cualquier $k$, ya que es el producto de una matriz $3 \times 2$ por una $2 \times 3$ (el rango del producto no puede superar el rango de los factores, que es como máximo $2$). $$|BA| = 0 \text{ para todo } k \in \mathbb{R}.$$ Por tanto, el rango máximo posible es $2$. Buscamos si existe algún menor de orden $2$ no nulo. Tomamos el menor formado por las dos primeras columnas y las dos últimas filas: $$M_1 = \begin{vmatrix} 1 - k & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(1 - k) - (-2) = -1 + k + 2 = k + 1$$ Este menor es cero si $k = -1$. Si $k \neq -1$, el $\text{rg}(BA) = 2$. Si $k = -1$, la matriz es $BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$. El menor de las columnas 2 y 3 es: $$M_2 = \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = -4 \neq 0$$ Como para cualquier valor de $k$ siempre existe al menos un menor de orden $2$ distinto de cero, el rango es constante. ✅ **Resultado (rango):** $$\boxed{\text{rg}(BA) = 2 \text{ para cualquier } k \in \mathbb{R}}$$

**c) (0.5 puntos) En el caso $k = 1$, escriba un sistema incompatible de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes sea $BA$.** Para $k = 1$, la matriz de coeficientes es: $$BA = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $\text{rg}(BA) = 2$. Un sistema será incompatible si el rango de la matriz ampliada es $3$. Esto ocurre si la última fila de la matriz ampliada tras realizar transformaciones elementales (o por combinación lineal) produce una contradicción. Observamos que en $BA$, la fila $F_3$ es combinación lineal de las otras dos: $F_3 = \frac{1}{2} F_1 + \frac{1}{2} F_2$. Para que el sistema sea incompatible, los términos independientes $(b_1, b_2, b_3)$ no deben cumplir esa misma relación. Si elegimos $b_1 = 2$ y $b_2 = 2$, entonces $b_3$ debería ser $1+1=2$ para ser compatible. Si elegimos $b_3 = 0$, el sistema será incompatible. El sistema es: $$\begin{cases} 2x = 2 \\ -2y + 2z = 2 \\ x - y + z = 0 \end{cases}$$ Comprobamos: De la primera, $x = 1$. De la segunda, $-y + z = 1$. Sustituyendo en la tercera: $1 + 1 = 2 \neq 0$. **Contradicción**. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius indica que un sistema es incompatible si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A|B)$. ✅ **Resultado (sistema):** $$\boxed{\begin{cases} 2x = 2 \\ -2y + 2z = 2 \\ x - y + z = 0 \end{cases}}$$