Distribución Binomial y aproximación a la Normal

**a) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que exactamente cuatro de ellos estén matriculados en Matemáticas II.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el número de alumnos matriculados en Matemáticas II de una muestra de 6. La probabilidad de que un alumno esté matriculado es $p = \frac{3}{5} = 0,6$. Por tanto, la probabilidad de que no lo esté es $q = 1 - p = 0,4$. Como se eligen $n=6$ alumnos de forma independiente, la variable $X$ sigue una distribución binomial: $$X \sim B(6; 0,6)$$ Para resolver este apartado, aplicamos la fórmula de la probabilidad puntual de la binomial: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el número combinatorio se calcula como $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Sustituimos los valores para $k=4$: $$P(X=4) = \binom{6}{4} \cdot (0,6)^4 \cdot (0,4)^{6-4}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{6}{4} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$$ Calculamos las potencias: $$(0,6)^4 = 0,1296$$ $$(0,4)^2 = 0,16$$ Multiplicamos todo: $$P(X=4) = 15 \cdot 0,1296 \cdot 0,16 = 0,31104$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=4) = 0,3110}$$

**b) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que alguno de ellos esté matriculado en Matemáticas II.** El suceso "alguno de ellos" es equivalente a $X \ge 1$. En lugar de sumar las probabilidades de $X=1, 2, 3, 4, 5, 6$, es mucho más sencillo utilizar el suceso complementario: $$P(X \ge 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X=0)$$ Calculamos $P(X=0)$: $$P(X=0) = \binom{6}{0} \cdot (0,6)^0 \cdot (0,4)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0,004096 = 0,004096$$ Finalmente: $$P(X \ge 1) = 1 - 0,004096 = 0,995904$$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad, expresiones como "al menos uno" o "alguno" suelen resolverse de forma rápida mediante el complementario del suceso "ninguno". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 1) = 0,9959}$$

**c) (1 punto) Si en un instituto hay matriculados en segundo de bachillerato 120 alumnos, calcular, aproximando la distribución binomial mediante una distribución normal, la probabilidad de que más de 60 de estos alumnos estén matriculados en Matemáticas II.** Ahora tenemos una nueva muestra de $n = 120$ alumnos. La variable es $X \sim B(120; 0,6)$. Comprobamos si se puede aproximar por una normal: 1. $n \cdot p = 120 \cdot 0,6 = 72 > 5$ 2. $n \cdot q = 120 \cdot 0,4 = 48 > 5$ Como se cumplen las condiciones, aproximamos $X$ por una normal $Y \sim N(\mu, \sigma)$: $$\mu = n \cdot p = 72$$ $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{120 \cdot 0,6 \cdot 0,4} = \sqrt{28,8} \approx 5,3666$$ Por tanto, $X \approx Y \sim N(72; 5,3666)$.

Queremos calcular $P(X > 60)$. Al pasar de una variable discreta a una continua, aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(X > 60) \approx P(Y \ge 60,5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{Y - \mu}{\sigma}$: $$P(Y \ge 60,5) = P\left( Z \ge \frac{60,5 - 72}{5,3666} \right) = P(Z \ge -2,1429)$$ Redondeamos a dos decimales para usar la tabla: $P(Z \ge -2,14)$. 💡 **Tip:** Recuerda que por simetría $P(Z \ge -a) = P(Z \le a)$.

Utilizando las propiedades de la curva normal: $$P(Z \ge -2,14) = P(Z \le 2,14)$$ Buscamos el valor $2,14$ en la tabla de distribución $N(0, 1)$: - Columna de las unidades y décimas: $2,1$ - Fila de las centésimas: $0,04$ El valor interceptado es $0,9838$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X > 60) \approx 0,9838}$$