Cuadrados en el espacio y geometría métrica

**a) (1.25 puntos) Si los puntos $A$ y $B$ son vértices contiguos de un cuadrado con vértices $\{A, B, C, D\}$ que se encuentra en el plano $\pi$, encuentre los posibles puntos $C$ y $D$.** Primero comprobamos que los puntos $A(0, -1, 0)$ y $B(0, 1, 0)$ pertenecen efectivamente al plano $\pi \equiv x - z = 0$: - Para $A$: $0 - 0 = 0$ (Correcto). - Para $B$: $0 - 0 = 0$ (Correcto). Como $A$ y $B$ son vértices contiguos, el vector $\vec{AB}$ define la dirección de uno de los lados y su módulo es la longitud del lado del cuadrado $l$: $$\vec{AB} = B - A = (0, 1 - (-1), 0) = (0, 2, 0).$$ El lado del cuadrado es $l = |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2} = 2$. 💡 **Tip:** En un cuadrado de plano $\pi$, los vectores que forman los lados deben ser perpendiculares entre sí, tener el mismo módulo y ser perpendiculares al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$.

Para encontrar los puntos $C$ y $D$, necesitamos un vector $\vec{v}$ que sea perpendicular al lado $\vec{AB}$ y que esté contenido en el plano $\pi$. Esto significa que $\vec{v}$ debe ser perpendicular simultáneamente a $\vec{AB}$ y al vector normal del plano $\vec{n_\pi} = (1, 0, -1)$. Calculamos la dirección mediante el producto vectorial: $$\vec{u} = \vec{AB} \times \vec{n_\pi} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{u} = \mathbf{i}(2 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot (-1) - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 2) = -2\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - 2\mathbf{k} = (-2, 0, -2).$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector perpendicular a ambos.

El vector $\vec{u} = (-2, 0, -2)$ tiene módulo: $$|\vec{u}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$$ Como el lado del cuadrado debe medir $l = 2$, escalamos el vector $\vec{u}$ para que tenga longitud 2. Llamamos a este nuevo vector $\vec{w}$: $$\vec{w} = \pm \frac{l}{|\vec{u}|} \vec{u} = \pm \frac{2}{2\sqrt{2}} (-2, 0, -2) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (-2, 0, -2) = \pm (-\sqrt{2}, 0, -2/\sqrt{2}) = \pm (-\sqrt{2}, 0, -\sqrt{2}).$$ Simplificando, obtenemos dos posibles vectores directores para los lados contiguos: $\vec{w_1} = (-\sqrt{2}, 0, -\sqrt{2})$ y $\vec{w_2} = (\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$.

Existen dos posibles cuadrados dependiendo de hacia qué "lado" del segmento $AB$ construyamos la figura dentro del plano: **Opción 1:** $$C_1 = B + \vec{w_1} = (0, 1, 0) + (-\sqrt{2}, 0, -\sqrt{2}) = (-\sqrt{2}, 1, -\sqrt{2})$$ $$D_1 = A + \vec{w_1} = (0, -1, 0) + (-\sqrt{2}, 0, -\sqrt{2}) = (-\sqrt{2}, -1, -\sqrt{2})$$ **Opción 2:** $$C_2 = B + \vec{w_2} = (0, 1, 0) + (\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}) = (\sqrt{2}, 1, \sqrt{2})$$ $$D_2 = A + \vec{w_2} = (0, -1, 0) + (\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}) = (\sqrt{2}, -1, \sqrt{2})$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Solución 1: } C(-\sqrt{2}, 1, -\sqrt{2}), D(-\sqrt{2}, -1, -\sqrt{2}) \\ \text{Solución 2: } C(\sqrt{2}, 1, \sqrt{2}), D(\sqrt{2}, -1, \sqrt{2}) \end{matrix}}$$

**b) (1.25 puntos) Si los puntos $A$ y $B$ son vértices opuestos de un cuadrado que se encuentra en el plano $\pi$, determine los otros dos vértices del mismo.** Si $A$ y $B$ son vértices opuestos, el segmento $AB$ es una diagonal del cuadrado. El centro del cuadrado es el punto medio $M$ de dicha diagonal: $$M = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{-1+1}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (0, 0, 0).$$ El vector que va del centro a uno de los vértices conocidos es: $$\vec{MA} = A - M = (0, -1, 0).$$ Su módulo es la mitad de la diagonal: $d/2 = |\vec{MA}| = 1$. Los otros dos vértices, $C$ y $D$, estarán situados sobre la otra diagonal, que es perpendicular a $AB$, está en el plano $\pi$ y tiene la misma longitud. 💡 **Tip:** En un cuadrado, las diagonales son perpendiculares, se cortan en su punto medio y tienen la misma longitud.

Buscamos un vector $\vec{v}$ perpendicular a $\vec{MA} = (0, -1, 0)$ y a $\vec{n_\pi} = (1, 0, -1)$: $$\vec{v} = \vec{MA} \times \vec{n_\pi} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(1) = (1, 0, 1).$$ El módulo de $\vec{v}$ es $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Como la distancia del centro $M$ a los vértices $C$ y $D$ debe ser la misma que a $A$ (es decir, 1), normalizamos $\vec{v}$ y lo escalamos: $$\vec{w} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, 1) = \pm \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \pm \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \right).$$

Sumamos y restamos el vector hallado al centro $M(0,0,0)$: $$C = M + \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$ $$D = M - \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{C\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \right), \quad D\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$