Estudio completo de una función a trozos

**a) (0.75 puntos) Estudie la continuidad de $f(x)$ en $\mathbb{R}$.** Analizamos la continuidad en cada tramo y en el punto de salto $x = 0$: 1. **Tramo $x < 0$**: La función $f(x) = \frac{2x+1}{x}$ es una función racional. Su único punto de discontinuidad es $x=0$, pero como este tramo solo está definido para $x < 0$, la función es **continua en $(-\infty, 0)$**. 2. **Tramo $x > 0$**: La función $f(x) = x^2 - 4x + 3$ es un polinomio, por lo que es **continua en $(0, +\infty)$**. 3. **Punto $x = 0$**: Estudiamos los límites laterales y el valor de la función: - Valor de la función: $f(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. - Límite por la derecha ($x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} (x^2 - 4x + 3) = 3$. - Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} \frac{2x+1}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty$. Como los límites laterales no coinciden (uno de ellos es infinito), existe una discontinuidad de salto infinito en $x = 0$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función coinciden y son finitos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**b) (0.25 puntos) ¿Es $f(x)$ derivable en $x = 0$? Justifique la respuesta.** Para que una función sea derivable en un punto, es condición necesaria que sea continua en dicho punto. Como hemos demostrado en el apartado anterior que $f(x)$ presenta una discontinuidad en $x = 0$, podemos afirmar directamente que la función **no es derivable en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Si una función no es continua en $x=a$, automáticamente no puede ser derivable en $x=a$. No es necesario calcular las derivadas laterales en este caso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ no es derivable en } x = 0 \text{ porque no es continua en dicho punto.}}$$

**c) (0.75 puntos) Calcule, si existen, las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales.** **Asíntotas Verticales (AV):** Buscamos valores donde la función tienda a infinito. En $x=0$, ya hemos visto que: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$$ Por lo tanto, hay una **asíntota vertical en $x = 0$**. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos los límites en el infinito para cada rama: - Cuando $x \to -\infty$ (rama superior): $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x+1}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x} = 2$$ Hay una AH en **$y = 2$** (por la izquierda). - Cuando $x \to +\infty$ (rama inferior): $$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 4x + 3) = +\infty$$ No hay AH por la derecha. **Asíntotas Oblicuas (AO):** En la rama de la izquierda ya hay AH, por lo que no hay AO. En la rama de la derecha: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 4x + 3}{x} = \lim_{x \to +\infty} (x - 4 + \frac{3}{x}) = +\infty$$ Al ser el límite infinito, **no hay asíntota oblicua**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AV: } x = 0, \quad \text{AH: } y = 2 \text{ (cuando } x \to -\infty)}$$

**d) (0.75 puntos) Determine para $x \in (0, \infty)$ el punto de la gráfica de $f(x)$ en el que la pendiente de la recta tangente es nula y obtenga la ecuación de la recta tangente en dicho punto. En el punto obtenido, ¿alcanza $f(x)$ algún extremo relativo? En caso afirmativo, clasifíquelo.** Para $x > 0$, la función es $f(x) = x^2 - 4x + 3$. La pendiente de la recta tangente es la derivada $f'(x)$. 1. **Hallar el punto de pendiente nula**: $$f'(x) = 2x - 4$$ Igualamos a cero: $2x - 4 = 0 \implies x = 2$. Como $2 \in (0, \infty)$, el punto es válido. La ordenada es $f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$. El punto es **$P(2, -1)$**. 2. **Ecuación de la recta tangente**: Como la pendiente $m = f'(2) = 0$, la ecuación es $y - f(2) = 0(x - 2) \implies y = -1$. 3. **Extremo relativo**: Analizamos la segunda derivada o el signo de $f'(x)$ alrededor de $x=2$: $$f''(x) = 2 > 0$$ Al ser la segunda derivada positiva, en $x = 2$ hay un **mínimo relativo**. **Tabla de monotonía para $x > 0$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\\hline f'(x) & - & 0 & +\\\hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Punto: } (2, -1), \quad \text{Recta tangente: } y = -1, \quad \text{Extremo: Mínimo relativo en } x=2}$$