Sistema de ecuaciones: Problema de libros en una estantería

Para resolver el problema, lo primero es definir las incógnitas que representan el número de libros de cada tipo: - Letra $x$: número de **ensayos**. - Letra $y$: número de **novelas**. - Letra $z$: número de **biografías**. Traducimos las frases del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. "Tres de cada dieciséis libros son ensayos": Esto significa que la proporción de ensayos respecto al total $(x+y+z)$ es $\frac{3}{16}$. $$x = \frac{3}{16}(x + y + z)$$ 2. "Las biografías junto con la tercera parte de los ensayos exceden en dos a las novelas": $$z + \frac{1}{3}x = y + 2$$ 3. "Si retiráramos la mitad de los ensayos y la quinta parte de las novelas quedarían 105 libros": El total original es $(x+y+z)$. Si quitamos $\frac{1}{2}x$ y $\frac{1}{5}y$, el total resultante es 105: $$(x - \frac{1}{2}x) + (y - \frac{1}{5}y) + z = 105 \implies \frac{1}{2}x + \frac{4}{5}y + z = 105$$ 💡 **Tip:** En problemas con proporciones como "3 de cada 16", recuerda que la parte es igual a la fracción multiplicada por el todo.

Vamos a simplificar las ecuaciones para trabajar con un sistema lineal estándar de la forma $Ax + By + Cz = D$. **Ecuación 1:** $$16x = 3x + 3y + 3z \implies 13x - 3y - 3z = 0$$ **Ecuación 2:** Multiplicamos por 3 para eliminar el denominador: $$x + 3z = 3y + 6 \implies x - 3y + 3z = 6$$ **Ecuación 3:** Multiplicamos por 10 (mínimo común múltiplo de 2 y 5) para eliminar denominadores: $$5x + 8y + 10z = 1050$$ El sistema resultante es: $$\begin{cases} 13x - 3y - 3z = 0 \quad (E_1) \\ x - 3y + 3z = 6 \quad (E_2) \\ 5x + 8y + 10z = 1050 \quad (E_3) \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Eliminar denominadores al principio reduce drásticamente la posibilidad de cometer errores de cálculo con fracciones.

Utilizaremos combinaciones lineales para reducir el sistema. **Paso 1: Eliminar $z$ usando $(E_1)$ y $(E_2)$:** Sumamos directamente las dos primeras ecuaciones: $$(13x - 3y - 3z) + (x - 3y + 3z) = 0 + 6$$ $$14x - 6y = 6 \implies 7x - 3y = 3 \quad (E_4)$$ **Paso 2: Eliminar $z$ usando $(E_2)$ y $(E_3)$:** Multiplicamos $(E_2)$ por $-10$ y $(E_3)$ por $3$: $$-10x + 30y - 30z = -60$$ $$15x + 24y + 30z = 3150$$ Sumamos: $$5x + 54y = 3090 \quad (E_5)$$ **Paso 3: Resolver el sistema 2x2 con $(E_4)$ y $(E_5)$:** De $(E_4)$ despejamos $y$: $3y = 7x - 3 \implies y = \frac{7x-3}{3}$. Sustituimos en $(E_5)$: $$5x + 54\left(\frac{7x-3}{3}\right) = 3090$$ $$5x + 18(7x - 3) = 3090$$ $$5x + 126x - 54 = 3090$$ $$131x = 3144 \implies x = \frac{3144}{131} = 24$$ 💡 **Tip:** Si el resultado de las variables en este tipo de problemas no es un número entero, revisa el planteamiento, ya que el número de libros debe ser natural.

Una vez hallado $x = 24$, sustituimos en las expresiones anteriores para obtener $y$ y $z$. Para $y$: $$y = \frac{7(24) - 3}{3} = \frac{168 - 3}{3} = \frac{165}{3} = 55$$ Para $z$, usamos la ecuación $(E_2)$ simplificada: $x - 3y + 3z = 6$: $$24 - 3(55) + 3z = 6$$ $$24 - 165 + 3z = 6$$ $$-141 + 3z = 6 \implies 3z = 147 \implies z = 49$$ Comprobamos que los valores cumplen el enunciado: - Total: $24+55+49 = 128$. Ensayos: $128 \cdot \frac{3}{16} = 24$. (Correcto) - $49 + \frac{24}{3} = 57$ y $55 + 2 = 57$. (Correcto) - $\frac{24}{2} + \frac{4 \cdot 55}{5} + 49 = 12 + 44 + 49 = 105$. (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Hay 24 ensayos, 55 novelas y 49 biografías en la estantería.}}$$