Distribución Normal: Altura de una población

**a) [0,75 p.] Calcule la probabilidad de que un individuo elegido al azar mida más de 170 cm.** Primero, definimos la variable aleatoria que modela el problema: $X$: "Altura de un individuo de la población en cm". El enunciado indica que $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(175, 4)$$ Donde la media es $\mu = 175$ y la desviación típica es $\sigma = 4$. Para calcular probabilidades, debemos transformar $X$ en una variable normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 175}{4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ para hallar cualquier probabilidad.

Queremos hallar $P(X \gt 170)$. Tipificamos el valor: $$P(X \gt 170) = P\left(Z \gt \frac{170 - 175}{4}\right) = P\left(Z \gt \frac{-5}{4}\right) = P(Z \gt -1,25)$$ Por simetría de la campana de Gauss, $P(Z \gt -z) = P(Z \le z)$: $$P(Z \gt -1,25) = P(Z \le 1,25)$$ Buscamos el valor $1,25$ en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$ (fila $1,2$ y columna $0,05$): $$P(Z \le 1,25) = 0,8944$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 170) = 0,8944}$$

**b) [0,75 p.] Calcule qué porcentaje de la población mide entre 170 y 185 cm.** Buscamos la probabilidad $P(170 \lt X \lt 185)$. Tipificamos ambos extremos: $$P(170 \lt X \lt 185) = P\left(\frac{170 - 175}{4} \lt Z \lt \frac{185 - 175}{4}\right)$$ $$P(-1,25 \lt Z \lt 2,5)$$ Aplicamos la propiedad de la probabilidad en un intervalo $P(a \lt Z \lt b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$: $$P(Z \le 2,5) - P(Z \le -1,25)$$ Para el valor negativo, usamos $P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$: $$P(Z \le 2,5) - [1 - P(Z \le 1,25)]$$ Buscamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 2,5) = 0,9938$ - $P(Z \le 1,25) = 0,8944$ (calculado en el apartado anterior) $$0,9938 - (1 - 0,8944) = 0,9938 - 0,1056 = 0,8882$$

Para obtener el porcentaje de la población, multiplicamos la probabilidad por $100$: $$\% = 0,8882 \cdot 100 = 88,82\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{88,82\%}$$

**c) [1 p.] Calcule la altura que es superada por el 33% de la población.** Buscamos un valor $k$ tal que la probabilidad de que alguien sea más alto que $k$ sea del $0,33$: $$P(X \gt k) = 0,33$$ Esto equivale a que la probabilidad de ser más bajo o igual que $k$ sea el resto (complementario): $$P(X \le k) = 1 - 0,33 = 0,67$$ Tipificamos la variable: $$P\left(Z \le \frac{k - 175}{4}\right) = 0,67$$ Llamamos $z_0 = \frac{k - 175}{4}$. Buscamos en el **interior** de la tabla de la normal el valor más cercano a $0,6700$. Encontramos que para $z_0 = 0,44$, la probabilidad es $0,6700$. Por tanto: $$\frac{k - 175}{4} = 0,44$$ Despejamos $k$: $$k - 175 = 0,44 \cdot 4$$ $$k - 175 = 1,76$$ $$k = 175 + 1,76 = 176,76$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 176,76 \text{ cm}}$$