Independencia y Distribución Binomial: Probabilidad Covid-19

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos básicos y sus probabilidades: - $M$: Ser mujer. $P(M) = 0,495$. - $H$: Ser hombre. $P(H) = 0,505$. - $C$: Contraer el Covid-19 en el interior de un restaurante. $P(C) = 0,45$. - $\bar{C}$: No contraer el Covid-19. $P(\bar{C}) = 1 - 0,45 = 0,55$. Dado que se nos indica que el sexo y el contagio son **sucesos independientes**, la probabilidad de contraer el virus es la misma tanto para hombres como para mujeres. Representamos la situación con un árbol de probabilidad:

**a) [0,5 p.] Suponiendo que los sucesos "contraer el Covid-19 en el interior de restaurantes" y "ser mujer" sean independientes, calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar sea mujer y contraiga el Covid-19 en el interior de restaurantes.** Nos piden la probabilidad de la intersección de ser mujer ($M$) y contraer el Covid ($C$), es decir, $P(M \cap C)$. Como los sucesos son independientes, la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades individuales: $$P(M \cap C) = P(M) \cdot P(C)$$ Sustituyendo los valores proporcionados: $$P(M \cap C) = 0,495 \cdot 0,45 = 0,22275$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M \cap C) = 0,22275}$$

**b) [1 p.] En el mismo supuesto que en el apartado a), calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar no sea mujer o no contraiga el Covid-19 en el interior de restaurantes.** Nos piden la probabilidad de que ocurra "no ser mujer" ($\bar{M}$) **o** "no contraer Covid" ($\bar{C}$), lo que se traduce como la probabilidad de la unión: $P(\bar{M} \cup \bar{C})$. Utilizando las **Leyes de De Morgan**, sabemos que: $$\bar{M} \cup \bar{C} = \overline{M \cap C}$$ Por lo tanto, la probabilidad solicitada es el complementario de la intersección calculada en el apartado anterior: $$P(\bar{M} \cup \bar{C}) = P(\overline{M \cap C}) = 1 - P(M \cap C)$$ Sustituimos el valor obtenido en a): $$P(\bar{M} \cup \bar{C}) = 1 - 0,22275 = 0,77725$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales: $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A \cap B)$ y $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{M} \cup \bar{C}) = 0,77725}$$

**c) [1 p.] Si se eligen 8 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 4 de ellas contraigan el Covid-19 en el interior de restaurantes?** Estamos ante un experimento de Bernoulli (contagiarse o no) que se repite $n = 8$ veces de forma independiente. Definimos la variable aleatoria: $X$: número de personas que contraen Covid-19 de un total de 8. Esta variable sigue una **distribución binomial**: $$X \sim B(n=8, p=0,45)$$ Donde $q = 1 - p = 0,55$. Se nos pide calcular $P(X \ge 4)$: $$P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$$ Utilizamos la fórmula de la probabilidad binomial $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$: - $P(X=4) = \binom{8}{4} (0,45)^4 (0,55)^4 = 70 \cdot 0,041006 \cdot 0,091506 \approx 0,2627$ - $P(X=5) = \binom{8}{5} (0,45)^5 (0,55)^3 = 56 \cdot 0,018453 \cdot 0,166375 \approx 0,1719$ - $P(X=6) = \binom{8}{6} (0,45)^6 (0,55)^2 = 28 \cdot 0,008304 \cdot 0,3025 \approx 0,0703$ - $P(X=7) = \binom{8}{7} (0,45)^7 (0,55)^1 = 8 \cdot 0,003737 \cdot 0,55 \approx 0,0164$ - $P(X=8) = \binom{8}{8} (0,45)^8 (0,55)^0 = 1 \cdot 0,001682 \cdot 1 \approx 0,0017$ Sumamos las probabilidades: $$P(X \ge 4) \approx 0,2627 + 0,1719 + 0,0703 + 0,0164 + 0,0017 = 0,5230$$ 💡 **Tip:** También podrías calcularlo como $1 - P(X < 4)$, es decir, $1 - [P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 4) = 0,5230}$$