Estudio de rectas coplanarias y distancias en el espacio

**a) [1,5 p.] Compruebe que las rectas son coplanarias (es decir, están contenidas en un mismo plano) y calcule la ecuación del plano que las contiene.** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta: Para la recta $r$ (en forma continua): - Punto $P_r = (1, 0, 0)$ - Vector director $\vec{v}_r = (-1, 1, 1)$ Para la recta $s$ (en forma implícita), resolvemos el sistema en función de un parámetro: $s : \begin{cases} x = 1 - 2z \\ y = 0 \end{cases} \implies \text{Si } z = \lambda: \begin{cases} x = 1 - 2\lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases}$ - Punto $P_s = (1, 0, 0)$ - Vector director $\vec{v}_s = (-2, 0, 1)$ 💡 **Tip:** Para obtener el vector de una recta en implícitas, también puedes hacer el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen.

Para que dos rectas sean coplanarias, deben ser paralelas, coincidentes o cortarse en un punto. Observamos que el punto $P_r = (1, 0, 0)$ y el punto $P_s = (1, 0, 0)$ son el mismo. Como ambas rectas comparten un punto y sus vectores directores $\vec{v}_r = (-1, 1, 1)$ y $\vec{v}_s = (-2, 0, 1)$ no son proporcionales (por lo tanto, no son paralelas), concluimos que **las rectas se cortan en el punto $(1, 0, 0)$**. Al ser rectas secantes, están contenidas en un mismo plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas se cortan en } (1,0,0) \implies \text{Son coplanarias}}$$

El plano $\pi_1$ que contiene a $r$ y $s$ tendrá como vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$, y pasará por el punto común $P(1, 0, 0)$. El vector normal del plano $\vec{n}_1$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_1 = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_1 = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}((-1) \cdot 1 - (-2) \cdot 1) + \mathbf{k}((-1) \cdot 0 - (-2) \cdot 1)$$ $$\vec{n}_1 = 1\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (1, -1, 2)$$ La ecuación del plano es de la forma $1x - 1y + 2z + D = 0$. Sustituimos el punto $(1, 0, 0)$: $$1(1) - 1(0) + 2(0) + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ ✅ **Resultado (Plano que las contiene):** $$\boxed{\pi_1 : x - y + 2z - 1 = 0}$$

**b) [1 p.] Calcule la distancia de la recta $r$ al plano $\pi : x-y+2z = 3$.** Primero analizamos la posición relativa de la recta $r$ respecto al plano $\pi$. Vector director de $r$: $\vec{v}_r = (-1, 1, 1)$. Vector normal de $\pi$: $\vec{n} = (1, -1, 2)$. Calculamos su producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n} = (-1)(1) + (1)(-1) + (1)(2) = -1 - 1 + 2 = 0$$ Como el producto escalar es cero, el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano, lo que significa que **la recta es paralela al plano o está contenida en él**. Comprobamos si el punto $P_r(1, 0, 0)$ de la recta cumple la ecuación del plano $\pi$: $$1 - 0 + 2(0) = 1 \neq 3$$ Como el punto no pertenece al plano, **la recta $r$ es estrictamente paralela al plano $\pi$**. 💡 **Tip:** Si la recta fuera perpendicular al plano, la distancia se calcularía hallando el punto de intersección, pero al ser paralela, la distancia es constante para cualquier punto de la recta.

Como $r \parallel \pi$, la distancia de la recta al plano es igual a la distancia de cualquier punto de la recta (usaremos $P_r$) al plano: $$d(r, \pi) = d(P_r, \pi)$$ La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es: $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Para el plano $\pi : x - y + 2z - 3 = 0$ y el punto $P_r(1, 0, 0)$: $$d(r, \pi) = \frac{|1 - 0 + 2(0) - 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, \pi) = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0,8165}$$