Posición relativa de recta y plano con parámetros

**a) [1,5 p.] Estudie la posición relativa del plano $\pi$ y de la recta $r$ en función del parámetro $a$.** Para estudiar la posición relativa de una recta y un plano, analizamos el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de la recta (en su forma implícita) y la ecuación del plano: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y = 0 \\ ax - z = a - 1 \end{cases}$$ Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A'$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ a & 0 & -1 \end{pmatrix}; \quad A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ a & 0 & -1 & a-1 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** La posición relativa depende de los rangos de estas matrices. Si $\text{rg}(A)=3$ cortan en un punto; si $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(A')=3$ son paralelos; si $\text{rg}(A)=\text{rg}(A')=2$ la recta está contenida en el plano.

Calculamos el determinante de $A$ para ver para qué valores de $a$ el rango es máximo: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ a & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = (1)(-1)(-1) + (1)(0)(a) + (1)(1)(0) - \left[ (a)(-1)(1) + (0)(0)(1) + (-1)(1)(1) \right]$$ $$|A| = 1 + 0 + 0 - (-a + 0 - 1) = 1 + a + 1 = a + 2$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $$a + 2 = 0 \implies a = -2$$ $$\boxed{|A| = a + 2}$$

Analizamos los casos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq -2$** Si $a \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A')$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es compatible determinado (SCD). **La recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un único punto.** **Caso 2: $a = -2$** Si $a = -2$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = 2$. Estudiamos el rango de $A'$ para $a = -2$ analizando el determinante de la matriz formada por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & -3 \end{vmatrix} = (1)(-1)(-3) + 0 + 0 - \left[ (-2)(-1)(1) + 0 + (-3)(1)(1) \right]$$ $$= 3 - (2 - 3) = 3 - (-1) = 4 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A'$, $\text{rg}(A') = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A')$, el sistema es incompatible (SI). **La recta $r$ y el plano $\pi$ son paralelos.** ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq -2: \text{Se cortan en un punto} \\ \text{Si } a = -2: \text{Son paralelos} \end{cases}}$$

**b) [1 p.] Si $a = -1$ la recta $r$ corta al plano $\pi$. Calcule en ese caso el punto de corte y el ángulo que forma la recta $r$ con el plano $\pi$.** Para $a = -1$, resolvemos el sistema de ecuaciones: 1) $x + y + z = 1$ 2) $x - y = 0 \implies y = x$ 3) $-x - z = -2 \implies z = 2 - x$ Sustituimos $y$ y $z$ en la primera ecuación: $$x + (x) + (2 - x) = 1 \implies x + 2 = 1 \implies x = -1$$ Ahora hallamos las otras coordenadas: $$y = x = -1$$ $$z = 2 - (-1) = 3$$ 💡 **Tip:** El punto de corte es la solución única del sistema cuando $a \neq -2$. ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{P(-1, -1, 3)}$$

El ángulo $\alpha$ entre una recta $r$ y un plano $\pi$ se calcula mediante la fórmula: $$\sin \alpha = \frac{|\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi}|}{|\vec{v_r}| \cdot |\vec{n_\pi}|}$$ Donde $\vec{n_\pi} = (1, 1, 1)$ es el vector normal del plano. Calculamos el vector director de la recta $\vec{v_r}$ mediante el producto vectorial de los normales de los planos que la definen (para $a = -1$): $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_r} = \vec{i}(1-0) - \vec{j}(-1-0) + \vec{k}(0-1) = (1, 1, -1)$$ Calculamos los módulos y el producto escalar: $|\vec{v_r}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ $|\vec{n_\pi}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ $|\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi}| = |(1)(1) + (1)(1) + (-1)(1)| = |1 + 1 - 1| = 1$ Sustituimos: $$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3} \implies \alpha = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19.47^\circ$$ ✅ **Resultado (Ángulo):** $$\boxed{\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19.47^\circ}$$