Análisis de la función $x^2 e^{-x}$ e integración por partes

**a) [1 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine sus intervalos de crecimiento y/o decrecimiento.** Para calcular la derivada de $f(x) = x^2 e^{-x}$, aplicamos la regla del producto: $$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$ En este caso, definimos $u(x) = x^2$ y $v(x) = e^{-x}$. Sus derivadas son $u'(x) = 2x$ y $v'(x) = -e^{-x}$ (aplicando la regla de la cadena). $$f'(x) = (2x) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x})$$ $$f'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x}$$ $$f'(x) = (2x - x^2) e^{-x}$$ $$f'(x) = x(2 - x) e^{-x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{g(x)}$ es $g'(x)e^{g(x)}$. Por eso, la derivada de $e^{-x}$ es $-e^{-x}$. ✅ **Resultado (Derivada):** $$\boxed{f'(x) = (2x - x^2)e^{-x}}$$

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies (2x - x^2) e^{-x} = 0$$ Como la función exponencial $e^{-x}$ es siempre positiva para cualquier $x \in \mathbb{R}$, la igualdad solo se cumple si: $$2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0$$ Obtenemos dos puntos críticos: **$x = 0$** y **$x = 2$**. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos. Como $e^{-x} > 0$ siempre, el signo de $f'(x)$ es el mismo que el del polinomio $2x - x^2$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \text{Monotonía} & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** El signo de un polinomio de segundo grado con coeficiente de $x^2$ negativo es positivo entre sus raíces. ✅ **Resultado (Intervalos):** - **Decrecimiento:** $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$ - **Crecimiento:** $(0, 2)$

**b) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.** Debemos calcular $I = \int x^2 e^{-x} dx$. Utilizaremos el método de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Elegimos: - $u = x^2 \implies du = 2x \, dx$ - $dv = e^{-x} \, dx \implies v = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x}$ Sustituyendo en la fórmula: $$I = x^2 (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \cdot (2x \, dx)$$ $$I = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} \, dx$$ 💡 **Tip:** Para elegir $u$ en integrales por partes, suele ser útil la regla mnemotécnica **ALPES** (Arco, Logaritmo, Polinomio, Exponencial, Seno/Coseno). En este caso, $x^2$ es Polinomio (P) y $e^{-x}$ es Exponencial (E).

Aplicamos de nuevo integración por partes para resolver $\int x e^{-x} \, dx$: Elegimos: - $u_2 = x \implies du_2 = dx$ - $dv_2 = e^{-x} \, dx \implies v_2 = -e^{-x}$ Entonces: $$\int x e^{-x} \, dx = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \, dx$$ $$\int x e^{-x} \, dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} \, dx = -xe^{-x} - e^{-x}$$ Sustituimos este resultado en la expresión general de $I$: $$I = -x^2 e^{-x} + 2 (-xe^{-x} - e^{-x}) + C$$ $$I = -x^2 e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} + C$$ $$I = -(x^2 + 2x + 2) e^{-x} + C$$ ✅ **Resultado (Integral indefinida):** $$\boxed{\int x^2 e^{-x} \, dx = -(x^2 + 2x + 2) e^{-x} + C}$$

**c) [0,5 p.] Determine la primitiva de la función $f(x)$ cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas $(0,1)$.** Llamamos $F(x)$ a la primitiva buscada. Sabemos que: $$F(x) = -(x^2 + 2x + 2) e^{-x} + C$$ Como la gráfica de $F(x)$ pasa por el punto $(0,1)$, se debe cumplir que $F(0) = 1$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión: $$F(0) = -(0^2 + 2(0) + 2) e^0 + C = 1$$ $$-(2) \cdot 1 + C = 1$$ $$-2 + C = 1 \implies C = 3$$ Sustituimos el valor de $C$ en la expresión general de la primitiva. ✅ **Resultado (Primitiva):** $$\boxed{F(x) = -(x^2 + 2x + 2) e^{-x} + 3}$$