Continuidad, derivabilidad y límites de una función logarítmica

**a) [0,5 p.] Calcule el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $+\infty$.** Para calcular el límite cuando $x \to +\infty$, utilizamos la expresión de la primera rama de la función, ya que $x > 0$ y $x \neq 1$: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x-1}$$ Al evaluar, observamos una indeterminación de tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando el numerador y el denominador por separado: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x-1} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \stackrel{H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de L'Hôpital se puede aplicar cuando obtenemos formas indeterminadas como $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$$

**b) [1 p.] Determine el valor de $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x = 1$.** Para que $f(x)$ sea continua en $x = 1$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista $f(1)$, que en este caso es $f(1) = a$. 2. Que exista el límite $\lim_{x \to 1} f(x)$. 3. Que el límite sea igual al valor de la función: $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$. Calculamos el límite en $x = 1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Es una indeterminación $\frac{0}{0}$, por lo que aplicamos de nuevo la **Regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = 1$$ Para que la función no presente un salto entre ramas y sea continua, igualamos el límite al valor de la función en ese punto: $$a = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$

**c) [1 p.] Estudie si, para dicho valor de $a$, la función $f(x)$ es derivable en $x = 1$. En caso afirmativo, calcule el valor de la derivada de $f$ en $x = 1$.** Una vez fijado $a=1$, la función es continua. Para estudiar la derivabilidad en el punto donde cambia la definición de la función ($x=1$), utilizamos la definición de derivada mediante el límite del cociente incremental: $$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$$ Sustituimos $f(1+h) = \frac{\ln(1+h)}{(1+h)-1} = \frac{\ln(1+h)}{h}$ y $f(1) = 1$: $$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\ln(1+h)}{h} - 1}{h}$$ Simplificamos la expresión para resolver el límite: $$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\ln(1+h) - h}{h}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h) - h}{h^2}$$ 💡 **Tip:** Cuando una función está definida por ramas y queremos ver la derivabilidad en el punto de unión, si la función es continua, podemos usar la definición de derivada o calcular el límite de la función derivada $f'(x)$ si este existe.

Evaluamos el límite obtenido anteriormente: $$\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1+h) - h}{h^2} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicamos la **Regla de L'Hôpital** (primera vez): $$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - 1}{2h} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicamos la **Regla de L'Hôpital** por segunda vez (o simplificamos antes): $$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{1-(1+h)}{1+h}}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{2h(1+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{2(1+h)} = -\frac{1}{2}$$ Como el límite existe y es finito, la función **es derivable en $x = 1$** y su valor es $f'(1) = -1/2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(1) = -\frac{1}{2}}$$