Matrices idempotentes y propiedades

**a) [0,75 p.] Si $A$ es una matriz idempotente, calcule razonadamente $A^{2022}$.** Por definición, una matriz es idempotente si $A^2 = A$. Para calcular potencias superiores, procedemos de forma iterativa: - Para $n=2$: $A^2 = A$ - Para $n=3$: $A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$ - Para $n=4$: $A^4 = A^3 \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$ Observamos que cualquier potencia natural $n \ge 1$ de una matriz idempotente vuelve a ser la propia matriz $A$. Podemos generalizar que $A^n = A$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Por tanto, para el caso particular de $n = 2022$: $$A^{2022} = A$$ 💡 **Tip:** Si una matriz al elevarla al cuadrado se queda igual, cualquier producto sucesivo por ella misma no cambiará el resultado. Es una propiedad característica de las proyecciones en álgebra lineal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{2022} = A}$$

**b) [0,75 p.] Si $A$ es una matriz idempotente y regular (o inversible), calcule razonadamente su determinante.** Partimos de la condición de matriz idempotente: $A^2 = A$. Aplicamos la propiedad de los determinantes que dice que el determinante del producto es el producto de los determinantes, $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$: $$|A^2| = |A| \implies |A \cdot A| = |A| \implies |A|^2 = |A|$$ Igualamos a cero para resolver la ecuación escalar: $$|A|^2 - |A| = 0$$ $$|A|(|A| - 1) = 0$$ Las soluciones posibles para el determinante son $|A| = 0$ o $|A| = 1$. Sin embargo, el enunciado indica que la matriz es **regular** (o inversible). Por definición, una matriz es regular si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por lo tanto, descartamos la opción $|A| = 0$ y concluimos que: $$|A| = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una matriz es idempotente e inversible, la única matriz que cumple esto es la matriz identidad $I$, cuyo determinante es efectivamente $1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A| = 1}$$

**c) [1 p.] Determine para qué valores de $a$ y $b$ la siguiente matriz es idempotente $A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 2 & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$.** Para que $A$ sea idempotente debe cumplirse $A^2 = A$. Calculamos primero $A^2$: $$A^2 = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 2 & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 2 & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Elemento (1,1): $a \cdot a + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = a^2$ - Elemento (2,1): $2 \cdot a + (1-a) \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 2a + 2 - 2a = 2$ - Elemento (2,2): $2 \cdot 0 + (1-a) \cdot (1-a) + 0 \cdot 0 = (1-a)^2$ - Elemento (3,3): $0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + b \cdot b = b^2$ Los demás elementos son 0 por la estructura triangular de la matriz. Así: $$A^2 = \begin{pmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ 2 & (1-a)^2 & 0 \\ 0 & 0 & b^2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar matrices con muchos ceros (como las triangulares), fíjate bien en qué posiciones se mantienen los ceros para ahorrar tiempo.

Igualamos $A^2 = A$ componente a componente: $$\begin{pmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ 2 & (1-a)^2 & 0 \\ 0 & 0 & b^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 2 & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$$ Esto nos genera las siguientes ecuaciones: 1) $a^2 = a \implies a^2 - a = 0 \implies a(a-1) = 0 \implies \mathbf{a = 0 \text{ o } a = 1}$ 2) $2 = 2$ (Se cumple siempre) 3) $(1-a)^2 = 1-a$ - Si $a=0$: $(1-0)^2 = 1-0 \implies 1=1$ (Correcto) - Si $a=1$: $(1-1)^2 = 1-1 \implies 0=0$ (Correcto) 4) $b^2 = b \implies b^2 - b = 0 \implies b(b-1) = 0 \implies \mathbf{b = 0 \text{ o } b = 1}$ Por tanto, los valores de $a$ pueden ser $0$ o $1$, y los valores de $b$ también pueden ser $0$ o $1$, independientemente entre sí. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \{0, 1\}, \quad b \in \{0, 1\}}$$