Problema de sistemas de ecuaciones: Dinero en paraísos fiscales

En primer lugar, definimos las incógnitas que representan la cantidad de dinero (en millones de euros) en cada paraíso fiscal: $x$: Millones de euros en las **Islas Caimán**. $y$: Millones de euros en **Panamá**. $z$: Millones de euros en **Fiji**. Traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones algebraicas: 1. La suma total es de 150 millones: $$x + y + z = 150$$ 2. Si pierde la cuarta parte en Caimán ($x - \frac{1}{4}x$), tiene el triple que en Panamá ($3y$): $$x - \frac{1}{4}x = 3y \implies \frac{3}{4}x = 3y \implies x = 4y$$ 3. El dinero en Panamá ($y$) más las dos quintas partes de Fiji ($\frac{2}{5}z$) es la mitad de Caimán ($\frac{1}{2}x$): $$y + \frac{2}{5}z = \frac{1}{2}x$$ 💡 **Tip:** Para facilitar los cálculos, eliminamos los denominadores en la tercera ecuación multiplicando por 10: $10y + 4z = 5x$, que reordenada queda $5x - 10y - 4z = 0$.

Agrupamos las ecuaciones obtenidas para formar un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: $$\begin{cases} x + y + z = 150 & \text{(1)} \\ x - 4y = 0 & \text{(2)} \\ 5x - 10y - 4z = 0 & \text{(3)} \end{cases}$$ Utilizaremos el **método de sustitución**, ya que la segunda ecuación permite despejar $x$ de forma muy sencilla.

De la ecuación (2), despejamos $x$: $$x = 4y$$ Sustituimos esta expresión de $x$ en las ecuaciones (1) y (3): En (1): $$(4y) + y + z = 150 \implies 5y + z = 150 \implies z = 150 - 5y$$ En (3): $$5(4y) - 10y - 4z = 0 \implies 20y - 10y - 4z = 0 \implies 10y - 4z = 0$$ Ahora sustituimos la expresión de $z$ obtenida anteriormente ($z = 150 - 5y$) en la ecuación resultante: $$10y - 4(150 - 5y) = 0$$ $$10y - 600 + 20y = 0$$ $$30y = 600 \implies y = \frac{600}{30} = 20$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas de problemas con contexto, si los resultados son números enteros sencillos, es una buena señal de que el planteamiento es correcto.

Una vez hallado el valor de $y$, calculamos $x$ y $z$: Para $x$: $$x = 4y = 4(20) = 80$$ Para $z$: $$z = 150 - 5(20) = 150 - 100 = 50$$ **Comprobación:** - Suma: $80 + 20 + 50 = 150$ (Correcto). - Caimán vs Panamá: $\frac{3}{4} \cdot 80 = 60$; $3 \cdot 20 = 60$ (Correcto). - Relación Panamá-Fiji: $20 + \frac{2}{5} \cdot 50 = 20 + 20 = 40$; $\frac{1}{2} \cdot 80 = 40$ (Correcto). Concluimos que las cantidades en cada paraíso fiscal son: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Islas Caimán: } 80 \text{ millones de euros} \\ \text{Panamá: } 20 \text{ millones de euros} \\ \text{Fiji: } 50 \text{ millones de euros} \end{matrix}}$$