Distribución Normal y Binomial: Cálculo de parámetros y probabilidad

**a) [1,5 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.** Definimos la variable aleatoria $X$ como el cociente intelectual (CI) de los estudiantes, la cual sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma)$$ Del enunciado extraemos dos informaciones clave: 1. La media es 10 veces la desviación típica: $\mu = 10\sigma$. 2. El 93,32% tiene un CI menor de 115: $P(X < 115) = 0,9332$. Para poder usar la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, debemos tipificar la variable utilizando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X < 115) = P\left( \frac{X - \mu}{\sigma} < \frac{115 - \mu}{\sigma} \right) = P\left( Z < \frac{115 - \mu}{\sigma} \right) = 0,9332.$$ 💡 **Tip:** Tipificar consiste en transformar cualquier variable normal $X$ en una $Z \sim N(0,1)$ restando la media y dividiendo por la desviación típica. Esto permite consultar las probabilidades en tablas estandarizadas.

Buscamos en la tabla de la distribución normal estándar el valor $z_0$ tal que $P(Z < z_0) = 0,9332$. Observando la tabla, encontramos que el valor que corresponde exactamente a esa probabilidad es: $$z_0 = 1,50.$$ Por tanto, establecemos la igualdad: $$\frac{115 - \mu}{\sigma} = 1,50.$$ Sustituimos la relación $\mu = 10\sigma$ en la ecuación anterior: $$\frac{115 - 10\sigma}{\sigma} = 1,50 \implies 115 - 10\sigma = 1,50\sigma.$$ Agrupamos términos y resolvemos para $\sigma$: $$115 = 11,50\sigma \implies \sigma = \frac{115}{11,50} = 10.$$ Ahora calculamos la media $\mu$: $$\mu = 10 \cdot \sigma = 10 \cdot 10 = 100.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\mu = 100, \quad \sigma = 10}$$

**b) [1 p.] Si se eligen al azar 5 estudiantes universitarios, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de ellos tengan un CI mayor de 115?** Primero definimos el éxito de nuestro experimento como "tener un CI mayor de 115". La probabilidad de éxito $p$ es: $$p = P(X > 115) = 1 - P(X < 115).$$ Como sabemos que $P(X < 115) = 0,9332$, entonces: $$p = 1 - 0,9332 = 0,0668.$$ Estamos ante una distribución Binomial $B(n, p)$, donde seleccionamos $n = 5$ estudiantes y queremos calcular la probabilidad de que $k = 3$ cumplan la condición. Sea $Y$ la variable que cuenta el número de estudiantes con CI $> 115$: $$Y \sim B(5, \, 0,0668).$$ 💡 **Tip:** La distribución binomial se usa cuando tenemos un número fijo de ensayos independientes ($n$), cada uno con solo dos resultados posibles (éxito/fracaso) y una probabilidad constante ($p$).

Utilizamos la fórmula de la probabilidad para una distribución binomial: $$P(Y = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}.$$ Para $n = 5$, $k = 3$ y $p = 0,0668$: $$P(Y = 3) = \binom{5}{3} \cdot 0,0668^3 \cdot (1 - 0,0668)^{5 - 3}.$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10.$$ Realizamos las operaciones con 4 decimales como indica el enunciado: $$P(Y = 3) = 10 \cdot (0,0668)^3 \cdot (0,9332)^2$$ $$P(Y = 3) = 10 \cdot (0,000298) \cdot (0,8709) = 0,002595...$$ Redondeando a 4 decimales: $$P(Y = 3) \approx 0,0026.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Y = 3) = 0,0026}$$