Probabilidad condicionada y teorema de la probabilidad total

**a) [0,75 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna B sea roja.** Primero definimos los sucesos para la extracción de la urna A: - $V_A$: Sacar bola verde de la urna A. $P(V_A) = \frac{6}{10} = 0.6$. - $N_A$: Sacar bola negra de la urna A. $P(N_A) = \frac{4}{10} = 0.4$. Dependiendo de lo que saquemos de A, la composición de la urna B (que inicialmente tiene 2V, 4N, 3R; total 9) cambiará: 1. Si pasamos una bola Verde ($V_A$): La urna B tendrá 3V, 4N, 3R (Total 10). 2. Si pasamos una bola Negra ($N_A$): La urna B tendrá 2V, 5N, 3R (Total 10). Representamos el experimento mediante un diagrama de árbol: 💡 **Tip:** Al pasar una bola de una urna a otra, el número total de bolas en la segunda urna aumenta en una unidad (pasa de 9 a 10).

Para calcular $P(R_B)$ utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de obtener roja a través de cada rama del árbol: $$P(R_B) = P(V_A) \cdot P(R_B | V_A) + P(N_A) \cdot P(R_B | N_A)$$ Sustituimos los valores obtenidos del diagrama: $$P(R_B) = 0.6 \cdot \frac{3}{10} + 0.4 \cdot \frac{3}{10}$$ $$P(R_B) = 0.6 \cdot 0.3 + 0.4 \cdot 0.3 = 0.18 + 0.12 = 0.30$$ 💡 **Tip:** Observa que en este caso particular, la probabilidad de roja no cambia independientemente de la bola que pase de A, ya que en la urna A no había bolas rojas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R_B) = 0.3}$$

**b) [0,75 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna B sea verde, sabiendo que la bola que se sacó de la urna A era verde.** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(V_B | V_A)$. Si sabemos que la bola extraída de A fue verde, la composición de la urna B pasa de (2V, 4N, 3R) a tener una bola verde más, es decir: (3V, 4N, 3R). El número total de bolas ahora es 10. Por la definición directa de probabilidad en el segundo nivel de nuestro árbol: $$P(V_B | V_A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} = \frac{3}{10} = 0.3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V_B | V_A) = 0.3}$$

**c) [1 p.] La probabilidad de que la bola que se saca de la urna B sea negra.** Aplicamos de nuevo el **Teorema de la Probabilidad Total** para el suceso $N_B$: $$P(N_B) = P(V_A) \cdot P(N_B | V_A) + P(N_A) \cdot P(N_B | N_A)$$ Sustituimos los valores correspondientes: - Si pasó verde ($V_A$): $P(N_B | V_A) = \frac{4}{10} = 0.4$ (el número de negras no cambia). - Si pasó negra ($N_A$): $P(N_B | N_A) = \frac{5}{10} = 0.5$ (hay una negra más). $$P(N_B) = 0.6 \cdot 0.4 + 0.4 \cdot 0.5$$ $$P(N_B) = 0.24 + 0.20 = 0.44$$ 💡 **Tip:** La suma de las probabilidades de todos los resultados posibles en la urna B ($P(V_B) + P(N_B) + P(R_B)$) debe ser igual a 1. Podemos usar esto para verificar resultados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N_B) = 0.44}$$