Plano mediador y distancia punto-plano

**a) [1,5 p.] Determine la ecuación del plano $\pi$ perpendicular al segmento $AB$ y que pasa por el punto medio de dicho segmento.** El primer paso es calcular el punto medio $M$ del segmento definido por los puntos $A(1, -1, 2)$ y $B(3, 5, 2)$. La fórmula para el punto medio es: $$M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right)$$ Sustituimos las coordenadas: $$M = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{-1 + 5}{2}, \frac{2 + 2}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{4}{2}, \frac{4}{2} \right)$$ $$M = (2, 2, 2)$$ 💡 **Tip:** El punto medio es el promedio aritmético de las coordenadas de los extremos. Este será el punto por el que pase nuestro plano $\pi$. $$\boxed{M(2, 2, 2)}$$

Como el plano $\pi$ es perpendicular al segmento $AB$, el vector $\vec{AB}$ (o cualquier vector proporcional a él) será el vector normal del plano, $\vec{n_\pi}$. Calculamos el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (3 - 1, 5 - (-1), 2 - 2) = (2, 6, 0)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector paralelo más sencillo dividiendo por 2: $$\vec{n_\pi} = (1, 3, 0)$$ 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a una recta o segmento, el vector director de dicha recta es el vector normal del plano. $$\boxed{\vec{n_\pi} = (1, 3, 0)}$$

La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Usando $\vec{n_\pi} = (1, 3, 0)$: $$1x + 3y + 0z + D = 0 \implies x + 3y + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto medio $M(2, 2, 2)$: $$2 + 3(2) + D = 0$$ $$2 + 6 + D = 0 \implies 8 + D = 0 \implies D = -8$$ Por tanto, la ecuación del plano es: $$\pi: x + 3y - 8 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 3y - 8 = 0}$$

**b) [1 p.] Calcule la distancia del punto $A$ al plano $\pi$.** Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, el punto es $A(1, -1, 2)$ y el plano es $\pi: x + 3y - 8 = 0$: $$d(A, \pi) = \frac{|1(1) + 3(-1) + 0(2) - 8|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2}}$$ Operamos en el numerador y el denominador: $$d(A, \pi) = \frac{|1 - 3 - 8|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{|-10|}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(A, \pi) = \frac{10\sqrt{10}}{10} = \sqrt{10} \approx 3,16 \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Dado que el plano $\pi$ es el plano mediador del segmento $AB$, la distancia de $A$ a $\pi$ debe ser exactamente la mitad de la distancia entre $A$ y $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(A, \pi) = \sqrt{10} \text{ u}}$$