Posición relativa de dos rectas, plano que las contiene y ángulo

**a) [1 p.] Estudie la posición relativa de ambas rectas.** Primero, identificamos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$. La recta $r$ está dada en su forma continua: $r : \frac{x+2}{-1} = \frac{y-3}{1} = \frac{z}{0}$. - El vector director es el denominador de las fracciones: **$\vec{v}_r = (-1, 1, 0)$**. - El punto se obtiene de los numeradores (cambiando el signo): **$P_r = (-2, 3, 0)$**. 💡 **Tip:** Si el denominador es 0 en la ecuación continua, significa que la componente correspondiente del vector director es 0, y la variable en el numerador es constante (en este caso, $z=0$).

La recta $s$ está dada como intersección de dos planos (forma implícita): $s : \begin{cases} x-z = 0 \\ y = 1 \end{cases}$ Para hallar el vector director $\vec{v}_s$, realizamos el producto vectorial de los vectores normales a los planos $\vec{n}_1 = (1, 0, -1)$ y $\vec{n}_2 = (0, 1, 0)$: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_s = (0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1)\mathbf{i} - (1 \cdot 0 - (-1) \cdot 0)\mathbf{j} + (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_s = 1\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (1, 0, 1)$$ Para hallar un punto $P_s$, damos un valor a una variable. Si $z=0$, entonces de la primera ecuación $x=0$. La segunda nos dice que $y=1$. Así, el punto es **$P_s = (0, 1, 0)$** y el vector es **$\vec{v}_s = (1, 0, 1)$**.

Analizamos la dependencia lineal de los vectores directores $\vec{v}_r = (-1, 1, 0)$ y $\vec{v}_s = (1, 0, 1)$. Como sus coordenadas no son proporcionales ($\frac{-1}{1} \neq \frac{1}{0}$), las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Calculamos ahora el vector que une un punto de cada recta: $\vec{P_r P_s} = (0 - (-2), 1 - 3, 0 - 0) = (2, -2, 0)$. Estudiamos el rango de la matriz formada por los tres vectores calculando su determinante: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\det = (-1 \cdot 0 \cdot 0) + (1 \cdot 1 \cdot 2) + (0 \cdot 1 \cdot (-2)) - (0 \cdot 0 \cdot 2) - (-1 \cdot 1 \cdot (-2)) - (1 \cdot 1 \cdot 0)$$ $$\det = 0 + 2 + 0 - 0 - 2 - 0 = 0$$ Al ser el determinante igual a 0, los vectores son coplanarios. Dado que los vectores directores no eran proporcionales, concluimos que: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cortan en un punto.}}$$

**b) [1,5 p.] En caso de que las rectas se corten, calcule la ecuación del plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas.** Como las rectas se cortan, existe un único plano $\pi$ que las contiene. Este plano pasa por el punto $P_r(-2, 3, 0)$ y tiene como vectores directores $\vec{v}_r = (-1, 1, 0)$ y $\vec{v}_s = (1, 0, 1)$. La ecuación general del plano se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - (-2) & y - 3 & z - 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x+2 & y-3 & z \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos: $$1(x+2) - (-1)(y-3) + (0-1)z = 0$$ $$x + 2 + y - 3 - z = 0$$ $$x + y - z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado (Plano):** $$\boxed{\pi: x + y - z - 1 = 0}$$

El ángulo $\alpha$ que forman dos rectas es el ángulo que forman sus vectores directores, tomando siempre el valor agudo: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{v}_s|}$$ Calculamos el producto escalar y los módulos: - $\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = -1$ - $|\vec{v}_r| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ - $|\vec{v}_s| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ Sustituimos: $$\cos \alpha = \frac{|-1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$ Por tanto, el ángulo es: $$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el ángulo entre dos rectas se define entre $0$ y $90^\circ$, por eso usamos el valor absoluto en el producto escalar. ✅ **Resultado (Ángulo):** $$\boxed{\alpha = 60^\circ \quad \left(\text{o } \frac{\pi}{3} \text{ rad}\right)}$$