Estudio de crecimiento e integración de la función x ln(x)

**a) [1 p.] Calcule la derivada de $f(x)$ y determine sus intervalos de crecimiento y/o decrecimiento.** La función dada es $f(x) = x \ln(x)$. Para calcular su derivada, utilizamos la regla del producto: $$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$ En este caso, $u = x$ y $v = \ln(x)$. Sus derivadas son $u' = 1$ y $v' = \frac{1}{x}$. Aplicamos la fórmula: $$f'(x) = (1) \cdot \ln(x) + x \cdot \left(\frac{1}{x}\right)$$ $$f'(x) = \ln(x) + 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada del logaritmo neperiano es $\frac{1}{x}$ y que el dominio de la función original es $x \gt 0$, por lo que la derivada también está definida en ese intervalo. $$\boxed{f'(x) = \ln(x) + 1}$$

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies \ln(x) + 1 = 0 \implies \ln(x) = -1$$ Aplicando la definición de logaritmo ($e^y = x$): $$x = e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0,368$$ Ahora estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio $(0, +\infty)$ y el punto crítico $x = \frac{1}{e}$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 1/e) & 1/e & (1/e, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(0, 1/e)$: Si tomamos $x = e^{-2}$, $f'(e^{-2}) = \ln(e^{-2}) + 1 = -2 + 1 = -1 \lt 0$ (**Decreciente**). - En $(1/e, +\infty)$: Si tomamos $x = 1$, $f'(1) = \ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1 \gt 0$ (**Creciente**). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } (0, 1/e) \text{ y Creciente en } (1/e, +\infty)}$$

**b) [1 p.] Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$.** Para calcular $\int x \ln(x) \, dx$, utilizamos el método de **integración por partes**: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Elegimos las partes siguiendo la regla ALPES (Logarítmicas antes que Polinómicas): - $u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$ Sustituimos en la fórmula: $$\int x \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$ $$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx$$ $$\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} \right) + C$$ 💡 **Tip:** No olvides sumar la constante de integración $C$ al finalizar una integral indefinida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C}$$

**c) [0,5 p.] Determine la primitiva de la función $f(x)$ cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas $(1,0)$.** Una primitiva $F(x)$ es una función tal que $F'(x) = f(x)$. Por el apartado anterior, sabemos que: $$F(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C$$ Para que la gráfica pase por el punto $(1,0)$, se debe cumplir que $F(1) = 0$: $$F(1) = \frac{1^2}{2} \ln(1) - \frac{1^2}{4} + C = 0$$ Como $\ln(1) = 0$, la ecuación se simplifica a: $$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{4} + C = 0$$ $$-\frac{1}{4} + C = 0 \implies C = \frac{1}{4}$$ Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de la primitiva: $$F(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + \frac{1}{4}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + \frac{1}{4}}$$