Análisis 2022 Murcia
Optimización: Tiempo mínimo en una competición de SwimRun
3: En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).
Un triatleta participa en una competición de SwimRun en la que debe ir desde el punto A, situado en la orilla de un canal de agua en reposo de 2 kilómetros de ancho, hasta el punto B, situado en la otra orilla del canal y a una distancia de 10 kilómetros del punto C (punto opuesto de A), tal y como se indica en la figura. Para ello, debe ir nadando desde A hasta cualquier punto D de la otra orilla del canal y continuar corriendo desde D hasta B. El triatleta tiene plena libertad para elegir D.
a) [1 p.] Sabiendo que el triatleta es capaz de nadar a una velocidad de 4 km/h y de correr a una velocidad de 12 km/h, demuestre que el tiempo total empleado por el triatleta en ir desde A hasta B (pasando por D) viene dado por la función $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4} + \frac{10 - x}{12}$, donde $x$ denota la distancia de C a D.
b) [1,5 p.] Calcule cuál debe ser el punto D para que el tiempo empleado por el triatleta en ir desde A hasta B sea mínimo. ¿Cuánto tardará en dicho caso?
Paso 1
Modelización de las distancias
**a) [1 p.] Sabiendo que el triatleta es capaz de nadar a una velocidad de 4 km/h y de correr a una velocidad de 12 km/h, demuestre que el tiempo total empleado por el triatleta en ir desde A hasta B (pasando por D) viene dado por la función $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4} + \frac{10 - x}{12}$, donde $x$ denota la distancia de C a D.**
Primero, definimos las distancias de los trayectos basándonos en el esquema:
1. **Trayecto nadando ($AD$):** El triángulo $\triangle ACD$ es un triángulo rectángulo en $C$. Por el teorema de Pitágoras:
$$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 4}$$
2. **Trayecto corriendo ($DB$):** La distancia total de la orilla $CB$ es de $10$ km. Si la distancia $CD$ es $x$, entonces la distancia restante es:
$$DB = CB - CD = 10 - x$$
💡 **Tip:** Recuerda que en un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos ($a^2 + b^2 = c^2$).
Paso 2
Construcción de la función tiempo
El tiempo total es la suma del tiempo de nado ($t_{nado}$) y el tiempo de carrera ($t_{carrera}$), sabiendo que $t = \frac{\text{distancia}}{\text{velocidad}}$.
- Tiempo nadando: Con velocidad $v_{nado} = 4$ km/h, $t_{nado} = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4}$.
- Tiempo corriendo: Con velocidad $v_{carrera} = 12$ km/h, $t_{carrera} = \frac{10 - x}{12}$.
Sumando ambos tiempos obtenemos la función buscada:
$$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4} + \frac{10 - x}{12}$$
Donde el dominio físico del problema es $x \in [0, 10]$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4} + \frac{10 - x}{12}}$$
Paso 3
Derivada de la función tiempo
**b) [1,5 p.] Calcule cuál debe ser el punto D para que el tiempo empleado por el triatleta en ir desde A hasta B sea mínimo. ¿Cuánto tardará en dicho caso?**
Para minimizar el tiempo, derivamos la función $f(x)$ respecto a $x$:
$$f(x) = \frac{1}{4}(x^2 + 4)^{1/2} + \frac{10}{12} - \frac{x}{12}$$
$$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}(x^2 + 4)^{-1/2} \cdot 2x - \frac{1}{12}$$
$$f'(x) = \frac{x}{4\sqrt{x^2 + 4}} - \frac{1}{12}$$
💡 **Tip:** La derivada de $\sqrt{u}$ es $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$. Aquí $u = x^2+4$, por lo que $u' = 2x$.
Paso 4
Cálculo del punto crítico
Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:
$$\frac{x}{4\sqrt{x^2 + 4}} - \frac{1}{12} = 0 \implies \frac{x}{4\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{1}{12}$$
Multiplicamos en cruz:
$$12x = 4\sqrt{x^2 + 4} \implies 3x = \sqrt{x^2 + 4}$$
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
$$(3x)^2 = (\sqrt{x^2 + 4})^2 \implies 9x^2 = x^2 + 4$$
$$8x^2 = 4 \implies x^2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
Como $x$ debe ser una distancia positiva:
$$x = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \text{ km}$$
El punto $D$ debe estar a **$\frac{\sqrt{2}}{2}$ km del punto $C$**.
Paso 5
Estudio de la monotonía y confirmación del mínimo
Analizamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo $[0, 10]$ para confirmar que es un mínimo:
$$\begin{array}{c|ccc}
x & (0, \sqrt{2}/2) & \sqrt{2}/2 & (\sqrt{2}/2, 10) \\\hline
f'(x) & - & 0 & + \\\hline
\text{Comportamiento} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow
\end{array}$$
- Para $x = 0$: $f'(0) = -1/12 \lt 0$.
- Para $x = 1$: $f'(1) = \frac{1}{4\sqrt{5}} - \frac{1}{12} \approx 0.1118 - 0.0833 \gt 0$.
Al pasar de decreciente a creciente, en $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ hay un **mínimo relativo** (que es absoluto en el intervalo).
✅ **Resultado (posición de D):**
$$\boxed{x = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \text{ km desde C hacia B}}$$
Paso 6
Cálculo del tiempo mínimo
Sustituimos $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ en la función original $f(x)$ para hallar el tiempo mínimo. Sabemos que $x^2 = 1/2$:
$$f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{1/2 + 4}}{4} + \frac{10 - \sqrt{2}/2}{12}$$
$$f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{9/2}}{4} + \frac{20 - \sqrt{2}}{24} = \frac{3/\sqrt{2}}{4} + \frac{20 - \sqrt{2}}{24}$$
$$f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{8} + \frac{20 - \sqrt{2}}{24} = \frac{9\sqrt{2} + 20 - \sqrt{2}}{24} = \frac{20 + 8\sqrt{2}}{24}$$
Simplificando entre 4:
$$f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{5 + 2\sqrt{2}}{6} \approx 1.3047 \text{ horas}$$
Convertimos a horas y minutos:
$1.3047 \text{ h} \approx 1 \text{ h } 18 \text{ min } 17 \text{ s}$.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Tiempo mínimo: } \frac{5 + 2\sqrt{2}}{6} \approx 1.305 \text{ horas}}$$