Potencias de matrices y ecuaciones matriciales

**a) [1 p.] Si $I$ denota la matriz identidad de orden 3, compruebe que $A^3 = -I$ y calcule $A^{2023}$.** Primero calculamos $A^2$ realizando el producto $A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento: - $c_{11} = 0(0) + 3(1) + 4(-1) = -1$ - $c_{12} = 0(3) + 3(-4) + 4(3) = 0$ - $c_{13} = 0(4) + 3(-5) + 4(4) = 1$ - $c_{21} = 1(0) - 4(1) - 5(-1) = 1$ - $c_{22} = 1(3) - 4(-4) - 5(3) = 3 + 16 - 15 = 4$ - $c_{23} = 1(4) - 4(-5) - 5(4) = 4 + 20 - 20 = 4$ - $c_{31} = -1(0) + 3(1) + 4(-1) = -1$ - $c_{32} = -1(3) + 3(-4) + 4(3) = -3 - 12 + 12 = -3$ - $c_{33} = -1(4) + 3(-5) + 4(4) = -4 - 15 + 16 = -3$ $$A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $A^3 = A^2 \cdot A$: $$A^3 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar matrices, recuerda la regla de "fila por columna". ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^3 = -I}$$

Para calcular $A^{2023}$, utilizamos el resultado anterior $A^3 = -I$. Dividimos el exponente $2023$ entre $3$: $$2023 = 3 \cdot 674 + 1$$ Podemos expresar $A^{2023}$ como: $$A^{2023} = (A^3)^{674} \cdot A^1$$ Sustituimos $A^3 = -I$: $$A^{2023} = (-I)^{674} \cdot A$$ Como el exponente $674$ es par, $(-I)^{674} = I$: $$A^{2023} = I \cdot A = A$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{2023} = A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}}$$

**b) [0,5 p.] Calcule la inversa de $A$.** Podemos obtener $A^{-1}$ de forma directa usando la igualdad $A^3 = -I$. Multiplicamos por $A^{-1}$ en ambos lados (sabemos que existe porque $A^3 = -I \implies \det(A)^3 = -1 \implies \det(A) = -1 \neq 0$): $$A^3 = -I \implies A \cdot A^2 = -I$$ Si multiplicamos por $-1$ y reordenamos: $$A \cdot (-A^2) = I$$ Por la definición de matriz inversa ($A \cdot A^{-1} = I$), se deduce que: $$A^{-1} = -A^2$$ Ya habíamos calculado $A^2$ en el apartado anterior: $$A^{-1} = -\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En ejercicios de potencias, siempre es más rápido despejar la inversa de la propia ecuación de potencias que usar el método de la adjunta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}}$$

**c) [1 p.] Resuelva la ecuación matricial $AX - B^T = A^2$, donde $B^T$ denota la matriz traspuesta de $B$.** Primero despejamos $X$ en la ecuación: 1. Sumamos $B^T$ en ambos lados: $AX = A^2 + B^T$ 2. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda: $X = A^{-1}(A^2 + B^T)$ 3. Aplicando la propiedad distributiva: $X = A^{-1}A^2 + A^{-1}B^T$ 4. Simplificando: $X = A + A^{-1}B^T$ Primero obtenemos $B^T$ transponiendo filas por columnas de $B$: $$B^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos el producto $A^{-1}B^T$: $$A^{-1}B^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & -5 & -9 \\ 1 & 4 & 7 \end{pmatrix}$$ Finalmente, sumamos $A$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & -5 & -9 \\ 1 & 4 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 0 & -9 & -14 \\ 0 & 7 & 11 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al despejar matrices, el orden de la multiplicación importa ($A^{-1}$ debe ir por la izquierda si $A$ estaba a la izquierda de $X$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 0 & -9 & -14 \\ 0 & 7 & 11 \end{pmatrix}}$$