Cálculo de edades mediante sistemas de ecuaciones

En primer lugar, definimos las variables que representarán las edades actuales de cada una de las personas mencionadas en el problema: - $x$: Edad actual de **Carmela**. - $y$: Edad actual de **Esperanza**. - $z$: Edad actual de **Aurora**. 💡 **Tip:** Definir claramente las variables es el paso más importante para evitar confusiones al traducir el lenguaje natural al lenguaje algebraico.

A partir del enunciado, traducimos cada frase en una ecuación matemática: 1. "La suma de las edades de Carmela, Esperanza y Aurora es 68 años": $$x + y + z = 68$$ 2. "La edad de Carmela ($x$) es 5 años más que la mitad de la suma de las edades de Esperanza ($y$) y Aurora ($z$)": $$x = \frac{y + z}{2} + 5$$ Para simplificarla, multiplicamos por $2$ toda la ecuación: $$2x = y + z + 10 \implies 2x - y - z = 10$$ 3. "Dentro de 4 años la edad de Aurora ($z+4$) será la edad que actualmente tiene Esperanza ($y$)": $$z + 4 = y \implies -y + z = -4$$ El sistema de ecuaciones resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 68 \\ 2x - y - z = 10 \\ -y + z = -4 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al plantear ecuaciones con fracciones, suele ser útil eliminar denominadores multiplicando por el mcm para facilitar los cálculos posteriores.

Podemos utilizar el método de suma y resta (reducción) con las dos primeras ecuaciones para eliminar las variables $y$ y $z$ simultáneamente. Sumamos la ecuación (1) y la ecuación (2): $$\begin{array}{rrc} (x + y + z) & = & 68 \\ + (2x - y - z) & = & 10 \\ \hline 3x & = & 78 \end{array}$$ Despejamos $x$: $$x = \frac{78}{3} = 26$$ Por lo tanto, **Carmela tiene 26 años**. $$\boxed{x = 26}$$

Sustituimos el valor de $x = 26$ en la primera ecuación para obtener un sistema de dos variables con $y$ y $z$: De $x + y + z = 68$ obtenemos: $$26 + y + z = 68 \implies y + z = 68 - 26 \implies y + z = 42$$ Ahora tenemos el siguiente sistema reducido: $$\begin{cases} y + z = 42 \\ -y + z = -4 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $y$: $$(y + z) + (-y + z) = 42 + (-4)$$ $$2z = 38 \implies z = \frac{38}{2} = 19$$ Ahora calculamos $y$ usando la relación $y + z = 42$: $$y + 19 = 42 \implies y = 42 - 19 = 23$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba los resultados sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones originales para asegurar que el sistema es correcto.

Interpretamos los resultados obtenidos de acuerdo a las variables definidas: - Edad de Carmela ($x$): **26 años** - Edad de Esperanza ($y$): **23 años** - Edad de Aurora ($z$): **19 años** **Comprobación:** - Suma: $26 + 23 + 19 = 68$ (Correcto). - Carmela: $26$ es igual a la mitad de $(23+19)$ más $5$: $21 + 5 = 26$ (Correcto). - Aurora en 4 años: $19 + 4 = 23$, que es la edad actual de Esperanza (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Carmela: 26 años, Esperanza: 23 años, Aurora: 19 años}}$$