Distribución normal: duración de actualizaciones antivirus

**(a) ¿Qué porcentaje de las actualizaciones supera los 10 meses? (3 puntos)** Primero definimos la variable aleatoria $X$ que representa el tiempo de duración de las actualizaciones en meses. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(8.8, 3)$$ Donde la media es $\mu = 8.8$ y la desviación típica es $\sigma = 3$. Para calcular probabilidades en una normal no estándar, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 8.8}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$.

Queremos hallar $P(X \gt 10)$. Tipificamos el valor: $$P(X \gt 10) = P\left(Z \gt \frac{10 - 8.8}{3}\right) = P\left(Z \gt \frac{1.2}{3}\right) = P(Z \gt 0.4)$$ Como las tablas suelen darnos el área a la izquierda ($P(Z \le z)$), usamos la propiedad del suceso complementario: $$P(Z \gt 0.4) = 1 - P(Z \le 0.4)$$ Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor para $z = 0.4$: $$P(Z \le 0.4) = 0.6554$$ Sustituimos: $$P(X \gt 10) = 1 - 0.6554 = 0.3446$$ Para dar el resultado en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.3446 \cdot 100 = 34.46\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{34.46\%}$$

**(b) ¿Qué porcentaje de las actualizaciones se ha mantenido entre 7 y 10 meses? (3 puntos)** Buscamos $P(7 \lt X \lt 10)$. Tipificamos ambos extremos: $$P\left(\frac{7 - 8.8}{3} \lt Z \lt \frac{10 - 8.8}{3}\right) = P\left(\frac{-1.8}{3} \lt Z \lt 0.4\right) = P(-0.6 \lt Z \lt 0.4)$$ Calculamos la probabilidad del intervalo como la diferencia de las probabilidades acumuladas: $$P(-0.6 \lt Z \lt 0.4) = P(Z \le 0.4) - P(Z \le -0.6)$$ 💡 **Tip:** Para valores negativos de $z$, usamos la simetría de la normal: $P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$. Calculamos $P(Z \le -0.6)$: $$P(Z \le -0.6) = 1 - P(Z \le 0.6) = 1 - 0.7257 = 0.2743$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$P(-0.6 \lt Z \lt 0.4) = 0.6554 - 0.2743 = 0.3811$$ El porcentaje es: $$0.3811 \cdot 100 = 38.11\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{38.11\%}$$

**(c) ¿Para qué valor del parámetro $c$ se tiene que el intervalo $(8.8 - c, 8.8 + c)$ es el intervalo de tiempo de duración del 98% de las actualizaciones? (4 puntos)** Se nos pide hallar $c$ tal que: $$P(8.8 - c \lt X \lt 8.8 + c) = 0.98$$ Tipificamos la expresión: $$P\left(\frac{8.8 - c - 8.8}{3} \lt Z \lt \frac{8.8 + c - 8.8}{3}\right) = 0.98$$ $$P\left(-\frac{c}{3} \lt Z \lt \frac{c}{3}\right) = 0.98$$ Este es un intervalo simétrico alrededor de la media. Llamemos $z_0 = \frac{c}{3}$. La probabilidad en un intervalo simétrico $[-z_0, z_0]$ se calcula como: $$P(-z_0 \lt Z \lt z_0) = 2 \cdot P(Z \le z_0) - 1$$ Planteamos la ecuación: $$2 \cdot P(Z \le z_0) - 1 = 0.98$$ $$2 \cdot P(Z \le z_0) = 1.98$$ $$P(Z \le z_0) = 0.99$$ 💡 **Tip:** Buscamos dentro de la tabla el valor de probabilidad $0.99$ para encontrar su correspondiente $z_0$.

Buscando en la tabla de la normal estándar, el valor de probabilidad $0.99$ se encuentra para un valor de $z$ aproximadamente entre $2.32$ y $2.33$. Usualmente se toma el valor más preciso: $$z_0 \approx 2.326$$ Como habíamos definido $z_0 = \frac{c}{3}$, despejamos $c$: $$c = 3 \cdot z_0 = 3 \cdot 2.326 = 6.978$$ Si usamos la aproximación $z_0 = 2.33$: $$c = 3 \cdot 2.33 = 6.99$$ Por tanto, el valor de $c$ para que el intervalo contenga el 98% de los datos es aproximadamente **6.978**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{c = 6.978}$$