Probabilidad: Independencia, Leyes de De Morgan y Probabilidad Condicionada

**(a) $P(\bar{A}), P(B)$ y $P(A \cap B)$. ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes? (4 puntos)** Primero, obtenemos las probabilidades de los sucesos contrarios básicos utilizando la propiedad $P(\bar{S}) = 1 - P(S)$: Para $P(\bar{A})$: $$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3.$$ Para $P(B)$: $$P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 0.4 = 0.6.$$ Para calcular la intersección $P(A \cap B)$, utilizamos las **Leyes de De Morgan**, que establecen que $\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B}$: $$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 0.58.$$ Por tanto: $$P(A \cap B) = 1 - P(\overline{A \cap B}) = 1 - 0.58 = 0.42.$$ 💡 **Tip:** Recuerda las Leyes de De Morgan: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios, y el complementario de la intersección es la unión de los complementarios. $$\boxed{P(\bar{A}) = 0.3, \quad P(B) = 0.6, \quad P(A \cap B) = 0.42}$$

Para comprobar si $A$ y $B$ son independientes, debemos verificar si se cumple la condición $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Calculamos el producto de sus probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.7 \cdot 0.6 = 0.42.$$ Comparamos con el valor de la intersección obtenido anteriormente: $$P(A \cap B) = 0.42.$$ Como $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, concluimos que los sucesos son independientes. 💡 **Tip:** Dos sucesos son independientes si y solo si la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad del otro, lo que matemáticamente se traduce en que la probabilidad de la intersección es el producto de sus probabilidades. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, } A \text{ y } B \text{ son sucesos independientes}}$$

Para facilitar los cálculos de los siguientes apartados, podemos organizar los datos en una tabla de probabilidades (tabla de contingencia): $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0.42 & 0.28 & 0.7 \\ \bar{A} & 0.18 & 0.12 & 0.3 \\ \hline \text{Total} & 0.6 & 0.4 & 1.0 \end{array}$$ Los valores internos se obtienen por diferencia. Por ejemplo, $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.7 - 0.42 = 0.28$.

**(b) $P(A \cup B)$. (1 punto)** Utilizamos la fórmula general para la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cup B) = 0.7 + 0.6 - 0.42 = 1.3 - 0.42 = 0.88.$$ 💡 **Tip:** Si los sucesos fueran incompatibles, la intersección sería 0, pero en este caso debemos restarla para no contar la zona común dos veces. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0.88}$$

**(c) $P(B \cap \bar{A})$. (3 puntos)** El suceso $B \cap \bar{A}$ representa los elementos que están en $B$ pero no están en $A$. Su probabilidad se calcula restando la intersección común a la probabilidad total de $B$: $$P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(A \cap B).$$ Sustituyendo los valores: $$P(B \cap \bar{A}) = 0.6 - 0.42 = 0.18.$$ Este valor coincide con el que situamos en nuestra tabla de contingencia previa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B \cap \bar{A}) = 0.18}$$

**(d) $P(A/B)$ y $P(A/\bar{B})$. (2 puntos)** La probabilidad condicionada se define como $P(X/Y) = \dfrac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$. Para $P(A/B)$: $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.42}{0.6} = 0.7.$$ Para $P(A/\bar{B})$: Primero necesitamos $P(A \cap \bar{B})$, que es $P(A) - P(A \cap B) = 0.7 - 0.42 = 0.28$: $$P(A/\bar{B}) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{0.28}{0.4} = 0.7.$$ 💡 **Tip:** Fíjate que en ambos casos el resultado es $0.7$, que es exactamente $P(A)$. Esto confirma de nuevo que $A$ y $B$ son independientes, ya que la probabilidad de $A$ no varía aunque sepamos que ha ocurrido $B$ o $\bar{B}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A/B) = 0.7, \quad P(A/\bar{B}) = 0.7}$$